<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 7 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          7 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio
          Editora Scipione.  

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627271-2

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
          intermedirio ala "B"
          Freguesia do 
          CEP 02909-900 
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          Caixa Postal 007
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<P>
                                I
 Sumrio

Terceira Parte

Captulo 2 -- Nmeros 
  racionais
 1- Fraes: revendo 
  ideias :::::::::::::::::::: 153
 2- Resolvendo 
  problemas ::::::::::::::::: 164
 3- Das fraes para os 
  decimais: revendo 
  ideias :::::::::::::::::::: 173 
 4- Nmeros racionais :::::: 182
 5- Clculos com nmeros 
  racionais ::::::::::::::::: 200
 Comandando a calculadora: 
  ao sobre expresses 
  numricas com racionais ::: 210
 6- Mdia aritmtica ::::::: 212
 7- Potenciao de 
  racionais ::::::::::::::::: 224
 8- Raiz quadrada :::::::::: 236

Captulo 3 -- Equaes 
 1- Primeiras ideias sobre 
  equaes :::::::::::::::::: 245 
 2- Uso das equaes ::::::: 255
 3- Recursos para resolver 
  uma equao ::::::::::::::: 263 
 4- Uma equao 
  especial :::::::::::::::::: 281
 5- Eliminao de 
  parnteses :::::::::::::::: 286 
 6- Problemas :::::::::::::: 298
 Pesquisando a taxa de 
  inflao: ao sobre 
  porcentagens :::::::::::::: 306

<61>
<tmat. medida c. 7>
<T+153>
Captulo 2 -- Nmeros racionais 

<62>
1- Fraes: revendo ideias 

Usos das fraes 

  No 6 ano, voc estudou as fraes. Elas tm vrios usos, mas vamos lembrar apenas estes: indicar o resultado de divises e indicar medidas. 

Exemplos 

<R+>
1. O resultado de 23 no  um nmero inteiro, mas podemos indic-lo com uma frao: #;c. Na figura, voc pode perceber por que o resultado  esse: 

_`[{figura seguida de legenda_`]
 Legenda: 2 chocolates divididos em 3 partes iguais. Cada parte  #;c de um chocolate.
<P>
  Como 23=2~3, percebemos que o trao de frao equivale a um sinal de diviso. 
 2. A polegada  uma unidade de comprimento de pouco uso, mas ainda em voga nos Estados 
  Unidos. Nas rguas de polegadas, a unidade  dividida em meios e quartos. Aqui no 
  Brasil, as polegadas so usadas para medir o dimetro de canos e, a, as medidas so indicadas por fraes: 

_`[{figura: rgua no adaptada_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<63>
Fraes equivalentes 

  Na figura da rgua, voc pode perceber que #,b polegada e #;d de polegada so comprimentos iguais. Veja ento que fraes de escrita diferente, como #,b e #;d, podem indicar uma mesma coisa. Essas fraes so chamadas de equivalentes, ou seja, de igual valor. Por isso, podemos dizer tambm que so iguais: #,b=#;d. 
  Veja fraes equivalentes 
 a #,c: 
<F->
#,c=#;f=#:i=#ab ...
  12=2
  32=6
#,c=#;f
  13=3
  33=9
#,c=#:i
  14=4
  34=12
#,c=#ab
<F+>
  D para perceber que h infinitas fraes equivalentes a #,c. Todas essas fraes indicam a tera parte de um todo. 
  Simplificando cada uma dessas fraes, sempre obteremos #,c. Observe uma simplificao: 
<F->
  55=1
  155=3
#?ae=#,c
<F+>

Operaes 

<R+>
1. Todos sabemos que 3 laranjas mais 2 laranjas d 5 laranjas. Quando somamos fraes de mesmo denominador, raciocinamos dessa maneira. Por exemplo: 3 stimos mais 2 stimos d 5 stimos: #:g+#;g=#?g.
  Se os denominadores so diferentes, no poderemos somar ou subtrair assim, porque teremos partes diferentes da unidade. Por isso, trocamos as fraes dadas por outras, equivalentes e de mesmo denominador. Veja o exemplo: #?f-#:h=#;}bd-#*bd=#,,bd. 

  mmc(6, 8)=24
 
  Neste exemplo, o novo denominador das fraes foi o mmc dos denominadores iniciais. Dizemos que as fraes foram reduzidas ao menor denominador comum. 
<64>
<P>
 2. Pense agora na multiplicao #;c'#,e. 
  Essa operao indica que desejamos encontrar #;c de #,e. Isso  a mesma coisa que dividir #,e em trs partes iguais e tomarmos duas dessas partes. Observe isso na figura. Voc ver que o resultado  #;ae.

_`[{figura: retngulo dividido em 15 partes iguais_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  O resultado poderia ser obtido sem fazer a figura, assim: 
  #;c'#,e=?2'1*?3'5*=#;ae. 
  O que observamos nesse exemplo ocorre com quaisquer fraes. Por isso, generalizamos: para multiplicar duas fraes, multiplicam-se seus numeradores e, depois, seus denominadores. 
<P>
 3. Na diviso de duas fraes, usamos uma regra muito estranha: multiplicamos a primeira frao pela frao inversa da segunda. Observe: #;c#?g=#;c'#=e=#,ae
  Como se obteve essa regra? Vamos dar uma explicao: 
  Voc sabe que, em uma diviso, multiplicar dividendo e divisor por um mesmo nmero no altera o quociente. Observe: 
  153=5
  1510=150
  310=30
  15030=5 
  Aplicando essa ideia em uma diviso de fraes, fazemos a diviso se transformar em uma multiplicao pela inversa da segunda frao. Acompanhe: 
  #;c#?g=#;c'#=e#?g'#=e=#?g'
  '#=e1=#;c'#=e1=#,ae
  Note que o dividendo do incio do clculo passou a ser 1 no final. A diviso inicial acabou transformada em uma multiplicao. 

<65>
Atividades

<R+>
1. Indique com uma frao j simplificada ao mximo: 

_`[{figura: folha de calendrio do ms de outubro de 2010, adaptada a seguir_`]

Outubro -- 2010

<F->
dm sg t qr qn sx sb
-- -- -- -- -- 1 2 
3 4 5 6 7 8 9 
aj aa ab ac ad ae af 
ag ah ai bj ba bb bc 
bd be bf bg bh bi cj 
ca
<F+>

a) a parte da semana correspondente a 2 dias; 
 b) a parte pintada da figura a seguir; 
<P>
_`[{tringulo dividido em dezesseis partes iguais; seis delas esto pintadas_`]

c) o comprimento em polegadas do alfinete; 

_`[{figura: um alfinete com a indicao de seu comprimento, comeando em #,b e terminando em 1#,d_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

d) a parte correspondente a 18 dias num ms de 30 dias; 
 e) o resultado de 12 dividido por 24.

2. Escreva quatro fraes equivalentes a #=e.

3. Simplifique as fraes: 
 a) #;,ae 
 b) #:!dh 

4. Efetue: 
 a) #?f+#,d 
 b) #=ab-#:af
 c) #=i'#;,e 
 d) #=i+#;,e

5. Observe as fraes e suas representaes: 

<F->
  #,b

  !::::::::::
  l_     _
  l_     _
  h:::::j:::::j

  #;c

  !:::::::::
  l__   _
  l__   _
  h:::j:::j:::j
<F+>

  Com base nessas figuras, e fazendo mais uma figura se for 
<P>
  preciso, explique por que #,b+#;c no d ?1+2*?2+
  +3*=#:e.

<66>
Pensando em casa

6. D o resultado das divises, escrevendo uma frao. Simplifique-a. 
 a) 1 chocolate  dividido igualmente entre 3 pessoas; 
 b) 2 chocolates so divididos igualmente entre 4 pessoas; 
 c) 4 chocolates so divididos igualmente entre 6 pessoas; 
 d) 4 chocolates so divididos igualmente entre 3 pessoas.

7. Descubra o valor de x nas igualdades de fraes: 
 a) 625=x75 
 b) 413=20x

8. Multiplicaes e divises devem ser efetuadas antes de adies e subtraes. Lembre-se disso e efetue: 
<P>
 a) #;e+#*aj-#,b 
 b) 1+#:=aa'#,,cg 
 c) 1-#g#"ad 
 d) #:e'#;i#,b 

9. Qual  a frao que, multiplicada por #;g, resulta em #:e?

10. Observe as representaes: 

<F->
  #;c

  !:::::::::
  l__   _
  l__   _
  h:::j:::j:::j

  #,f

  !:::::::::
  l_   _   _ 
  r:::w:::w:::w
  l   _   _   _
  h:::j:::j:::j
<F+>
<P>
a) Quantas partes de #,f cabem em #;c? 
 b) Qual o resultado de #;c#,f? 

Desafios e surpresas

1. Marlia efetuou uma diviso de fraes de uma maneira estranha. Veja: 
  #,?b#?b=?155*1=#:a.
 a) Faa essa mesma diviso seguindo a regra habitual. 
 b) Seu resultado coincide com o de Marlia? 
 c) O clculo de Marlia est correto? Por qu? 
<R-> 

               ::::::::::::::::::::::::

<67> 
2- Resolvendo problemas 

  Existem muitos problemas com fraes que so verdadeiros que-
 bra-cabeas e desenvolvem muito nosso raciocnio. Alm disso, eles podem ser divertidos, ao menos para quem aprecia desafios. 
  Como exemplo, vamos examinar um problema famoso: 
  Uma torneira leva 5 horas para encher uma piscina. Uma outra leva 10 horas. Juntas, quanto tempo elas levam para encher a piscina? 
  Vamos ver o que cada torneira faz em 1 hora: 
<R+>
  a torneira que enche a piscina em 5 horas em 1 hora enche #,e da piscina;
  a torneira que enche a piscina em 10 horas em 1 hora enche #,aj da piscina.
<R->
  Agora vamos ver o que as duas juntas fazem em 1 hora: 
 #,e+#,aj=#;aj+#,aj=#:aj.
  Juntas, enchem #:aj da piscina em 1 hora. Agora, calculamos em quanto tempo vo encher a piscina toda, isto , #,}aj da piscina:

<R+>
_`[{tabela adaptada em duas colunas: 1 frao cheia; 2 tempo para encher. Contedo a seguir_`]

#:aj da piscina -- 1 hora
 #,aj da piscina -- 1 hora3=#,c de hora=20 minutos
 #,}aj da piscina -- 20 minutos"10=200 minutos
<R->

  Finalmente, como 200 minutos so 3 horas e 20 minutos (pois 200=60+60+60+20), chegamos ao resultado final. 
  Achou o problema difcil? No se preocupe: nem todos do tanto trabalho! 

<68>
Atividades

<R+>
11. Um fregus comprou #,f de uma torta. Outro comprou #,d. O terceiro, que levou o restante, pagou R$14,00. Quanto custava a torta toda? 
  Sugesto: 
  Represente a situao do pro-
  blema num diagrama: 

<F->
!:::::::::::::::::::::
l #,f _ #,d _ R$14,00 _
h:::::j:::::j:::::::::::j
<F+>
<P>
   preciso calcular a soma #,f+#,d=...
  Calculada a soma, verifique que frao corresponde  parte do terceiro fregus. 
  Nesse ponto, basta completar uma tabela assim: 

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::
l '''''' da torta _ R$14,00 _
r::::::::::::::::::w:::::::::::w
l 1''' da torta  _ '''       _
r::::::::::::::::::w:::::::::::w
l a torta toda     _ '''       _
h::::::::::::::::::j:::::::::::j
<F+>

12. Recebi minha mesada no sbado. No mesmo dia, gastei #;e e, no domingo, gastei #,b. Para o resto da semana, fiquei com apenas R$2,00. Calcule o valor da minha mesada.

13. Imagine que a figura a seguir representa uma piscina. 
<P>
_`[{figura: um retngulo dividido em seis partes iguais_`]

  Imagine ainda uma torneira que enche essa piscina em 3 horas e outra que faz a mesma coisa em 6 horas. 
 a) Copie a representao da piscina e assinale a parte que cada torneira enche em 1 hora. Use cores diferentes para cada uma. 
 b) Observando a figura, diga em quanto tempo a piscina toda  cheia pelas duas torneiras juntas.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

14. Marina viu a bandeja de brigadeiros e no se conteve: logo comeu #,d deles. Chegou Joo Lus e comeu #,c do restante. 
 a) Que frao dos brigadeiros Joo Lus comeu? 
 b) Que frao dos brigadeiros Marina e Joo Lus comeram? 
 c) Depois disso, que frao dos brigadeiros sobrou na bandeja?

15. No problema anterior, se restaram 20 brigadeiros depois de Marina e Joo Lus terem comido, calcule quantos brigadeiros havia no incio.

Pensando em casa 

16. Uma torneira leva 24 horas para encher uma piscina. Outra faz a mesma coisa em 8 horas. Em quanto tempo as duas torneiras juntas enchem a piscina? 

<69>
17. Cinco meninas compraram um bolo e iam dividi-lo igualmente. Mas, na hora de dividir, uma das meninas no quis a sua parte: ela j tinha tomado sorvete demais. Por isso, o bolo foi igualmente dividido entre as quatro meninas restantes. 
<P>
 a) Que frao do bolo cada uma receberia se a menina que no comeu tambm quisesse a sua parte? 
 b) Que frao do bolo cada uma das quatro recebeu? 
 c) Cada uma das quatro acabou ganhando uma certa frao do bolo a mais do que iria receber. Qual  essa frao?

18. No problema anterior, cada uma das quatro meninas acabou ganhando 150 gramas de bolo a mais do que iria receber. Quantos gramas tinha esse bolo?
 19. At agora, j fiz #;e dos exerccios da minha tarefa. Hoje, pretendo fazer mais #,aj dos exerccios, mas, mesmo assim, ainda restaro 30 exerccios para fazer. Quantos exerccios tem a minha tarefa?
 20. A renda do circo que chegou  cidade foi de R$5.600,00. O mestre de cerimnias, que tambm  o dono do circo, ficou com #,d de toda a renda. Os dois irmos trapezistas receberam #,c do restante, para dividir entre si. O engolidor de fogo recebeu #,g do que restou aps as distribuies anteriores; a contorcionista, tambm #,g, e o rapaz do globo da morte, #;g.
  A parte final, depois de todas as parcelas pagas a cada um, foi distribuda entre o pessoal de apoio (bilheteiro, montadores, camareiras e faxineiros). 
  Agora, copie e complete a tabela que mostra a parte da renda de cada um. 

_`[{tabela adaptada, formada pelas colunas: pessoal e parte da renda em frao e parte da renda em reais_`]

  Mestre -- #,d -- ...
  Trapezista -- #,c'#:d -- ...
  Engolidor -- #,g'#,b -- ...
  Contorcionista -- ... -- ...
  Rapaz do globo -- ... -- ...
  Apoio -- ... -- ...

<70> 
Desafios e surpresas

2. Dona Ester foi trabalhar e deixou dinheiro para seus 3 filhos, com este bilhete: Dividam igualmente o dinheiro. Beijos.. 
  O primeiro filho chegou, pegou #,c do dinheiro e saiu. O segundo chegou e no viu ningum. 
  Pensando que era o primeiro, pegou #,c do dinheiro que tinha pela frente e saiu. O terceiro encontrou 4 notas de R$5,00. Achou que era o ltimo, pegou tudo e saiu. 
 a) Que frao do dinheiro deixado pela me o segundo filho pegou? 
 b) Que frao do dinheiro deixado pela me sobrou quando o segundo filho saiu? 
 c) Quanto dona Ester deixou? 
 d) Devido ao engano do segundo filho, algum saiu beneficiado? Algum saiu prejudicado? Quem? 
<P>
3. Uma pessoa digita um certo servio em 5 horas. Outra faz a mesma coisa, mas em 20 horas. Calcule o tempo que elas levam para fazer esse mesmo servio, nos seguintes casos: 
 a) as duas pessoas conseguem distribuir o servio para faz-lo, o tempo todo, juntas; 
 b) a primeira pessoa (a que digita em 5 horas) pega o servio, trabalha sozinha durante 3 horas e passa o resto do servio para a outra pessoa completar. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
 
<71>
3- Das fraes para os decimais: 
  revendo ideias 

Outra maneira de escrever fraes 

  As fraes foram usadas por muitos sculos. No entanto,  trabalhoso efetuar operaes com elas ou mesmo compar-las. Por exemplo, sem fazer contas,  difcil saber de imediato se #,:bg  maior ou menor que #,?,ccj.
  Essas dificuldades levaram os matemticos do sculo XVI a criar outra maneira de representar as fraes. Isso deu origem  escrita dos nmeros com vrgula ou nmeros decimais. No dia a dia, quase no encontramos fraes e sim nmeros decimais. Por exemplo, ningum diz #,d de real. Todos dizem 25 centavos de real, que  o mesmo que 25 centsimos de real, que so representados por R$0,25.
  Os nmeros decimais com vrgula so escritos em um sistema decimal, da mesma forma que os naturais. Compare as escritas 371 e 37,1: 
<R+>
 371 -- 3 centenas, 7 dezenas, 1 unidade
  centena10=dezena
  dezena10=unidade
 37,1 -- 3 dezenas, 7 unidades, 1 dcimo
  dezena10=unidade
  unidade10=dcimo
<R->
<P>
Da forma de frao para a forma 
  decimal 

  Voc j aprendeu a escrever fraes na forma decimal. Vamos recordar. 

Exemplos 

<R+>
1. Em uma frao cujo denominador  uma potncia de 10, o nmero de zeros no quociente  igual ao nmero de casas  direita da vrgula. Assim, temos: 
<F->
  #,;:ajjj=0,123
  1.000 :> 3 zeros
  0,123 :> 3 casas decimais. 
<F+>
  Ateno! Observe que as escritas 0,123 e 0,1230 representam o mesmo nmero, porque #,;:ajjj=
  =#,;:}ajjjj.
 2. Nas fraes cujos denominadores no so potncias de 10, a transformao em decimal  obtida por meio da diviso do numerador pelo denominador: #:e=35. Portanto, #:e=0,6. 
<72>
 3.  fcil comparar fraes se elas forem escritas na forma decimal: 
  #,:bg=0,481481... (uma dzima peridica). 
  #,?,ccj=0,45757... (outra dzima peridica). 
<R->
  Examinando as duas primeiras casas decimais dos dois nmeros, vemos que 0,48  maior do que 0,45. Portanto: #,:bg>#,?,ccj. 

Operaes com decimais 

<R+>
1. Para somar ou subtrair nmeros decimais com vrgula, fazemos o mesmo que com nmeros naturais. Operamos dezenas com dezenas, unidades com unidades, dcimos com dcimos etc. Veja a subtrao 16-4,7: 
<F->
  16=1 dezena+6 unidades+0 
  dcimo
  4,7=4 unidades+7 dcimos
  16,0-4,7=11,3
<F+>
2. Na multiplicao de decimais, o nmero de casas decimais do produto  igual  soma do nmero de casas decimais de cada fator. Por exemplo: 0,252,5=0,625.
  Voc pode perceber o porqu se multiplicar na forma de frao: 
  2,5'0,25=#;?aj'#;?ajj=
  =#!;?ajjj=0,625.
 3. A diviso de dois nmeros decimais pode ser transformada na diviso de dois nmeros naturais. Isso  feito de acordo com a seguinte regra prtica: (1) iguale as casas decimais; (2) corte as vrgulas; 
  (3) divida. Observe: 51,25=5,001,25=500
  125=4.
  Por que a regra funciona? Porque igualar as casas decimais e cortar as vrgulas significa multiplicar dividendo e divisor por um mesmo nmero, que ser 10 ou 100 ou 1.000 etc. Isso no altera o resultado, como voc j sabe. 
  51,25=500125=4
  5"100=500
  1,25"100=125

<73>
Atividades

<R+>
21. Ningum escreve quantias em dinheiro com fraes. Mas ns fizemos isso s para voc pensar um pouco. Veja o exemplo: 
  #,b real vale 50 centavos ou R$0,50. Agora, copie e complete como no exemplo: 
 a) #,d de real vale ... 
 b) #:d de real valem ...
 c) #:bj de real valem ...
 d) #be de real valem ...
 e) 2#:d de real valem ...

22. Escreva na forma decimal: 
 a) #;:?ajj
 b) #?b 
 c) #,;e
 d) #;:aj 

23. Escreva as fraes dadas na atividade anterior em ordem crescente.

24. Responda: 
 a) Qual o principal motivo para que as fraes fossem criadas? 
 b) E os nmeros decimais, por que foram criados? Cite uma razo.

25. Efetue, *sem* uso de calculadora: 
 a) 3,777+2,88  
 b) 10-3,75  
 c) 650 
 d) 4,820,4
 e) 0,210,3
 f) 50,9

26. O preo do litro de combustvel no Posto Satisfao era R$2,45. 
  Para encher o tanque de um automvel, foram colocados exatamente 20,4 litros. O motorista do automvel pagou com uma cdula de 100 reais. Qual foi seu troco?
<P>
Pensando em casa 

27. Escreva em ordem crescente: 3,1415; 3,111...; 3,1; 3,0987.

28. Coloque na forma de frao e simplifique: 
 a) 0,24 
 b) 0,32

29. Qual  a maior frao: 
  #:,gd ou #:gi? Por qu?

30. A diviso 0,50,25  equivalente a 5025, que d 2. Repare que, na diviso inicial, multiplicamos 0,5 e 0,25 por 100, o que no altera o resultado. Use esse exemplo e efetue mentalmente: 
 a) 0,40,02  
 b) 0,260,13 
 c) 3,90,13
 d) 4,51,5
<P>
31. Dona Cota dispunha de 24 reais para comprar um tipo de carne que custava R$9,60 o quilo. 
 a) Indique (sem efetuar) a operao que fornece quantos quilos dessa carne dona Cota pode comprar. 
 b) Quantos quilos ela pode comprar?

32. O terreno representado a seguir ser cercado por um muro, exceto no espao de 2,5 m reservado para o porto. 

<F->
         !::::::::::::::
         l              _
  6,6 m l                2,5 m 
         l              _
         h::::::::::::::j
             12,8 m
<F+>

  Quantos metros de muro sero construdos? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<74>
4- Nmeros racionais 

Nmeros racionais positivos ou 
  negativos 

  Voc j sabe que toda frao pode ser escrita como um nmero decimal e vice-versa. Fraes e decimais so escritas diferentes de um mesmo nmero. A que tipo de nmero estamos nos referindo? 
  So os nmeros racionais. Por que esse nome? Porque a palavra *racional* vem do latim *ratio*, que significa *diviso*. Todo racional  o resultado de uma diviso de nmeros inteiros. Por exemplo, #;c  o resultado de 23. 
  At aqui, s vimos nmeros racionais positivos, mas existem tambm os racionais negativos, que podem ser teis em vrias situaes. 
<P>
Exemplos 

<R+>
1. Uma temperatura pode ser 10,5}C (dez e meio graus Celsius). E pode ser -10,5}C (dez e meio graus Celsius negativos). 
 2. Racionais negativos na 
  imprensa
  Os nmeros racionais negativos, escritos na forma decimal, aparecem frequentemente em jornais e revistas. O mapa que voc v aparece quase todos os dias em um certo jornal paulista. Nele  informada a variao do valor das aes vendidas nas bolsas em relao ao dia anterior. Por exemplo, em setembro de 2005, em So Paulo, as aes variaram +2,16%, o que indica o aumento de dois vrgula dezesseis por cento; em Hong Kong elas variaram -0,24%, o que indica diminuio em zero vrgula vinte e quatro por cento. 

_`[{mapa "Bolsas no mundo -- 
  Variao dos principais 
  mercados acionrios", 
  descrito a seguir_`]

  Mapa mundi destacando as 
  cidades e a variao do valor das aes.
  Nova York: +0,15%
  So Paulo: +2,16%
  Buenos Aires: +0,52%
  Tquio: 0,00%
  Hong Kong: -0,24%
  Tailndia: -0,05%
  Cingapura: +0,10% 

*O Estado de S. Paulo*. Disponvel em: ~,www.estadao.com.~
  breconomiafinancascotacoes~
  bolsas.htm~, Acesso em: 23 set. 2005.
<R->

<75>
O conjunto dos racionais 

  Para cada frao ou nmero decimal positivos, podemos imaginar uma frao ou nmero decimal negativos. Reunindo esses nmeros positivos com os negativos, mais o nmero zero, temos o conjunto 
 _q dos racionais. O smbolo 
 _q lembra a palavra *quociente*, que se relaciona com a origem dos racionais. 
  Assim, so elementos do conjunto _q nmeros como -5,7; #:d; -#:d ou 0.
  Todo nmero inteiro tambm resulta de uma diviso de inteiros. Por exemplo, -5  o resultado de infinitas divises de inteiros, uma delas sendo `(-5`)1. Assim, podemos dizer que todo nmero inteiro  tambm racional. 

Os conjuntos numricos 

  At aqui, voc conhece trs conjuntos numricos: dos naturais (ou inteiros positivos mais o zero), dos inteiros (que podem ser positivos, negativos ou zero) e dos racionais. 
<P>
  Na Matemtica,  costume re-
 presentar os conjuntos de nmeros por diagramas como este: 

<R+>
_`[{diagrama adaptado_`]
 Legenda: Imagine que todos os nmeros naturais esto dentro desse diagrama. 
<R->

<F->
  !::::   
  l_n  _
  l    _
  h::::j
<F+>

  Representando dessa maneira os conjuntos _n, _z e _q, teremos a seguinte situao: 

<R+>
_`[{diagrama adaptado_`]
 Legenda: _n est contido em _z e _z est contido em _q. 
<P>

<F->
  !:::::::::::: 
  l_q          _  
  l !:::::::: _ 
  l l_z      _ _
  l l !:::: _ _ 
  l l l_n  _ _ _ 
  l l l    _ _ _ 
  l l h::::j _ _ 
  l l        _ _ 
  l h::::::::j _ 
  l            _ 
  h::::::::::::j
<F+>

Lembrete

 Para escrever um nmero racional positivo, pode-se dispensar o sinal *+*. 
  +#,b=#,b; +3,6=3,6.
  Para escrever um nmero racional negativo na forma de frao, coloque o sinal *-* na frente da frao ou no numerador. 
<R->
  -#,b=-12.
 
<76> 
<P>
Representao geomtrica 

  Os nmeros inteiros so representados por pontos em uma reta. Nessa mesma reta podemos representar os nmeros racionais. 
  Veja, por exemplo, a representao do nmero 1,7: 

_`[{figura: reta no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Compare as representaes de -1,7 e 1,7: 

_`[{figura: reta no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Para representar um nmero racional em forma de frao, podemos transform-lo em decimal. Por exemplo, #,=f=2,8333... Na re-
 presentao, podemos aproximar esse valor para 2,83 ou 2,8 conforme a preciso de nosso desenho. Veja ento a representao de #,=f e tambm de -#,=f.

_`[{figura: reta no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Oposto e mdulo de nmero 
  racional 

  Dois nmeros racionais so opostos ou simtricos se, na reta dos racionais, se localizam  mesma distncia do zero, mas de lados opostos. Por exemplo, so opostos os nmeros #,=f e -#,=f. Tambm so opostos 1,7 e -1,7.
  O mdulo de um nmero racional  a distncia dele at o zero, na reta dos racionais. Assim, o mdulo de #,=f  exatamente #,=f. E o mdulo de -#,=f tambm  #,=f (isso mesmo, sem sinal!). O mdulo de um nmero *x*  indicado assim: _ x_. Veja o uso desse smbolo: 
_ -1,7_ =_ 1,7_ =1,7. 

<77>
Comparao de nmeros racionais 

  Os nmeros racionais aparecem representados na reta em ordem crescente, da esquerda para a direita. Isso permite compar-los facilmente. Veja a reta: 

_`[{figura: reta adaptada_`]
<F->
Legenda:
  A: -#;c
  B: -#,c
  C: #;c
  D: 1,7

::o::r::r:::o:::r::o::r::>
 -1 A B   0  C  1 D
<F+>

  Note que -#;c<-#,c. 
  Observe tambm que 1,7>#;c. 
<P>
<R+>
  Entre dois racionais negativos, o maior  o de menor mdulo. 
  Entre dois racionais positivos, o maior  o de maior mdulo. 
<R->

  Entretanto, no  preciso pensar nessas regras para comparar racionais. Voc pode coloc-los na forma decimal e pensar em dvidas e lucros. 
  Por exemplo, -#,=f=-2,8333... Quem tem aproximadamente -2,8 tem menos que -1,7 (porque tem dvida maior). Logo, -#,=f<-1,7. 

Atividades 

<R+>
33. Um mergulhador passou da profundidade de -0,5 m para a de -5 m. Nesse caso, ele subiu ou desceu? Quantos metros?

34. Num armazm, um fiscal pe as caixas numa balana. Quando a caixa tem #,d de quilograma a mais que o previsto, ele marca +#,d nessa caixa. Quando a caixa tem #:d de quilograma a menos que o previsto, ele marca -#:d e assim por diante. 
 a) Se o fiscal marcar -#,b numa caixa, quantos quilogramas ela ter a mais ou a menos que o previsto? 
 b) Numa caixa, o fiscal marcou -#,b. A caixa foi para o depsito, voltou, e o fiscal a ps novamente na balana. Dessa vez, ele marcou -#:d. O que aconteceu: colocaram ou retiraram mercadorias da caixa? Quantos quilogramas? 

<78>
35. Efetue as divises e apresente os resultados na forma de frao e na forma decimal: 
 a) `(-4`)`(+5`) 
 b) `(-3`)`(-2`) 
 c) `(-13`)`(-2`) 
 d) `(-5`)4
<P>
36. Observe o diagrama, no qual A, B e C representam nmeros desconhecidos. Diga se  verdade: 

_`[{diagrama adaptado_`]

<F->
_q
!:::::::::::: 
l_z          _  
l !:::::::: _ 
l l_n      _ _
l l !:::: _ _ 
l l lA  _ _ _ 
l l l    _ _ _ 
l l h::::j _ _ 
l l     B _ _ 
l h::::::::j _ 
l         C _ 
h::::::::::::j
<F+>

a) A pode valer -5 
 b) B pode valer -5 
 c) C pode valer -5 
 d) C pode valer #;c
 e) C pode valer -0,5 

37. Nesta reta, a distncia entre cada ponto e o seguinte  sempre a mesma: 

_`[{reta no adaptada; contedo a seguir_`]

  A: ponto situado na metade 
  entre os nmeros -3 e -2;
  B: ponto situado na metade 
  entre os nmeros -2 e -1;
  C: ponto situado na metade 
  entre os nmeros -1 e 0;
  D: ponto situado na metade 
  entre os nmeros 0 e 1;
  1,5: ponto situado na metade entre os nmeros 1 e 2;
  E: ponto situado na metade 
  entre os nmeros 2 e 3.

  Quais so os nmeros representados pelos pontos A, B, C, D, E?
 38. Escreva em ordem crescente: 0,5; 2; -2,5; -3,5; -1,5.
<P>
39. Nesta reta, _`[no adaptada_`] a distncia entre cada ponto marcado e o seguinte  sempre a mesma: 
 a) Considere os pontos O, R, D, E, M. Escreva na forma de frao o nmero que cada um desses pontos representa. 
 b) Qual a maior frao: -#c ou -#?c? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
40. Responda: 
 a) Qual  o mdulo de -5,8? 
 b) Qual  o oposto de -5,8? 
 c) Somando -#c com seu oposto, qual  o resultado? 
 d) *x*  um nmero positivo. Seu mdulo  menor ou igual a ele?

41. Lcia disse que 0,1  o menor racional positivo. Ricardo respondeu: 
<P>
  -- Nada disso! O menor racional positivo  0,01! 
  O nmero 0,1  o menor racional positivo? E 0,01? Explique sua resposta. 

<79> 
Pensando em casa

42. Um termmetro est marcando a temperatura de -6 graus. Diga quanto ele marcar se a tem-
  peratura: 
 a) subir 2,5 graus; 
 b) descer 2,5 graus.
 
43. Hoje, o frio est terrvel. O termmetro marca -3,7 graus. Ontem, estava horrvel: a temperatura era de -4,3 graus. De ontem para hoje, a temperatura subiu ou desceu? Quanto?

44. Copie e complete as sentenas usando os smbolos _n, _z ou _q. 
 a) Os nmeros 0, 1, 2, 3, ... formam o conjunto ...
<P>
 b) Os nmeros -2,3; -#;c e #:b pertencem ao conjunto ...
 c) Os nmeros inteiros positivos, mais os inteiros negativos, mais o zero, formam o conjun-
  to ...

45. Pense e responda: 
 a) Zero  o menor nmero racional? 
 b) Zero  maior que qualquer racional negativo? 
 c) Existem racionais positivos menores que 1? 
 d) Existem inteiros positivos menores que 1?

46. Dos dois nmeros dados, qual  o maior? Qual  o de maior mdulo? 
 a) 0,6 e -0,7 
 b) -#,g e #;g 
 c) 0 e -#;g 
 d) 4,101 e 4,11
<P>
47. Representamos os nmeros racionais *r* e *s* na reta dos racionais: 

<F->
  ::o:::o::>
    r    s 
<F+>

a) Se *r* e *s* so nmeros positivos, qual  o maior dos dois? E qual  o de maior mdulo? 
 b) Se *r* e *s* so nmeros negativos, qual  o maior dos dois? E qual  o de maior mdulo?

48. Considere os nmeros racionais: -7,202; -7,3; 4,12; 0,01. 
 a) Escreva-os em ordem crescente. 
 b) Escreva seus mdulos em ordem crescente. 
 c) Escreva seus opostos em ordem crescente.

49. Considere os nmeros racionais: -#;;g; -#:,aj; -#c; #,aj.
 a) Escreva-os em ordem crescente. 
 b) Escreva seus mdulos em ordem crescente. 
 c) Escreva seus opostos em ordem crescente.

50. Determine as sentenas verdadeiras. 
 a) O oposto de 5  um elemento do conjunto _n. 
 b) O oposto de 5  um elemento do conjunto _z. 
 c) O inverso de 5  um elemento do conjunto _z. 
 d) O inverso de 5  um elemento do conjunto _q. 
 e) O oposto de -2,5  2,5. 
 f) O oposto de -2,5  -1~2,5. 
 g) O inverso de 7  -7. 
 h) O inverso de 7  #,g. 
 i) O inverso de 7  -#,g. 
 j) O nmero 0 no tem inverso. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<80>
5- Clculos com nmeros 
  racionais 

  Vamos ver como efetuar as qua-
 tro operaes fundamentais com os nmeros racionais, tanto na forma de frao como na forma decimal. Para efetuar os clculos, voc dever reunir os conhecimentos que j possui sobre operaes com fraes, com decimais e com nmeros com sinal (isto , positivos ou negativos). 

Exemplos 

<R+>
1. Na primeira expresso, ateno para a ordem das operaes. 
<F->
  -#:g-#e#"c=
  Devemos comear pela diviso.
  -#:g-#e'#:h=
  Usamos o cancelamento: 
  4 e 8.
  -#:g-#,e'#:b=-#:g-#:aj=
  Reduzimos ao menor denominador 
  comum.
  ?-30-21*70=-#?,gj.
<F+>
<P>
2. Agora, vamos ver um caso com parnteses. 
  -#:e'#:b-#=d=
  Devemos comear pelos clculos 
  dentro dos parnteses.
  -#:e'?6-7*4=
  O produto de dois nmeros nega-
  tivos  um nmero positivo.
  -#:e'-#,d=#:bj.
 3. Para terminar, uma expresso com nmeros decimais. 
  6+2,5'-1,8=
  Comeando pela multiplicao: multiplicamos os mdulos 2,5 e 1,8 e colocamos sinal negativo.
  6+-4,5=1,5
  Juntando 6 com a dvida de 4,5, ficamos com 1,5.
<R->

Usando as propriedades das 
  operaes 

  As operaes com racionais tm propriedades que voc j conhece. 
  A adio e a multiplicao tm as propriedades comutativa, associativa e elemento neutro (que  0 na adio e 1 na multiplicao). Adio e subtrao so operaes inversas, assim como multiplicao e diviso. 
<81>
  Alm disso, aparece uma nova propriedade: a diviso exata sempre  possvel, com exceo da diviso por zero. Recorde que, com nmeros inteiros, nem sempre a diviso exata  possvel. 
  Por exemplo, a diviso 23 deixa resto e esse resto  2. Entretanto, operando com nmeros racionais, encontramos o quociente dessa diviso e no h resto. S um detalhe: pode-se pensar que na forma decimal essa diviso ainda deixaria resto, porque ela no termina, resulta em dzima peridica. Entretanto, isso no acontece na forma de frao. 
<R+>
  diviso no conjunto _z: 23=0 resto 2.
  diviso no conjunto _q na forma decimal: 203=0,66.
  diviso no conjunto _q na forma de frao: 23=#;c.
<R->
  Por isso, podemos dizer que a diviso em _q (salvo a diviso por zero) tem a propriedade de fechamento. 
  Vamos ver dois exemplos do uso das propriedades. 

Exemplos 

<R+>
1. No final do dia, o caixa de uma loja faz um resumo das despesas e receitas (isto , o dinheiro gasto e o recebido). Indicando as despesas com sinal negativo, ele fica com o seguinte clculo: 20,50-7,20+12,00-
  -120,50-25,40+35,00+18,00-
  -78,00+30,80. 
  Esse clculo pode ser facilitado com o uso das propriedades. 
  Todas as contas podem ser imaginadas como adies: 20,50 mais -7,20 mais 12,00 mais etc. Usando a propriedade comutativa pode-se mudar a ordem das parcelas, colocando todas as positivas na frente e todas as negativas na continuao: 
  20,50+12,00+35,00+18,00+
  +30,80-7,20-120,50-25,40-
  -78,00. 
  Em seguida, usando a propriedade associativa, as parcelas podem ser associadas da maneira mais conveniente: todas as positivas e, separadamente, todas as negativas: 
  `(20,50+12,00+35,00+18,00+
  +30,80`)+`(-7,20-120,50-
  -25,40-78,00`). 
  Agora,  s fazer a conta... 
 2. Em uma empresa, o lucro  dividido entre os 5 scios no final de cada ms. Mas, em certo ms, os scios foram informados que no receberiam lucro nenhum. Ao contrrio, deveriam pagar uma dvida de R$235,50 cada um. Qual foi o lucro da empresa nesse ms? 
  Sabemos que: lucro5=-235,50.
  Portanto, pensando na operao inversa, temos: lucro=-235,50'5=-1.177,50. 
  Ou seja, a empresa teve um prejuzo de R$1.177,50. 
<82>
<P>
Atividades

51. Efetue: 
 a) 2+`(-0,2`) 
 b) -5+`(3,75`) 
 c) -#,b+#,c 
 d) -2+`(-#"ae`) 

52. Uma pessoa est com saldo bancrio de -573,00 e, com autorizao do gerente, ainda retira 325,00. 
 a) Sem efetuar, indique o clculo que d o novo saldo. 
 b) D o valor desse saldo.

53. Efetue as multiplicaes: 
 a) `(-1`)'9,29 
 b) `(-6`)'3,18 
 c) 0,02'`(-3,5`)

54. Agora, efetue estas multiplicaes: 
 a) #:c'`(-#?d`) 
 b) `(-#:e`)'`(-#,b`) 
 c) #,,bh'`(-#?!aa`) 
 
55. Efetue as divises: 
 a) 32,7`(-10`) 
 b) `(-11,28`)0,2 
 c) `(-7,2`)`(-2,5`)

56. Efetue tambm estas divises: 
 a) #,c#,b
 b) `(-#,c`)`(-#=c`) 
 c) -#?cf#,}i

57. Pense nas operaes e suas inversas e calcule o valor do nmero racional *x*: 
 a) 3'x=5 
 b) x~8=3~2
 c) x5~7=4~5 
 d) x+7~12=1~8 
 
58. Veja a sequncia: 
  -2,5; -2; -1,5; -1; -0,5; ... que continua com esse padro at 4,5. 
  Vamos somar todos esses nmeros. 
 a) Podemos associar parcelas que se anulam. Quais so? 
 b) Qual  a soma final? 
<P>
_`[{a menina diz: "No final do livro, voc encontra as respostas da seo atividades. Habitue-se a conferi-las."_`]

<83>
Pensando em casa

59. Efetue as expresses a seguir. 
  Dica: elas so semelhantes aos trs exemplos de expresses que esto no incio do texto deste item. Se voc tiver dificuldades, consulte esses exemplos. 
 a) -#;ae-#!e'#,d 
 b) #:h+#;e#;c 
 c) -#:g'`(-#?ad+#:b`)
 d) -#,bj`(2-#:e`)
 e) 2-0,25'`(-3`)
 f) -5-3,750,5

60. _`[{use a calculadora_`] Nos primeiros 10 minutos de trabalho, o caixa de um banco recebeu um depsito de R$120,00, pagou um cheque de R$150,75, recebeu o pagamento de duas contas, uma de R$9,80 e outra de R$52,45 e pagou outro cheque de R$55,50. Sabendo que no incio do perodo de trabalho havia R$250,00 em caixa, qual a quantia que ele tem agora? 
 61. Efetue: -0,5-1-1,5-2-
  -...-7-7,5-8. As reticncias indicam que as parcelas que faltam continuam seguindo o padro. 
  Sugesto: associando as parcelas das pontas para o meio, voc obtm sempre -8,5. Veja: -0,5-8=-8,5; -1-7,5=-8,5; -1,5-7=-8,5 etc. A partir da,  s fazer a multiplicao adequada.
 62. Efetue: #,cj-#;cj+#:cj-#cj+
  +...+#;=cj-#;"cj+#;*cj-#:}cj

63. Encontre o nmero racional que, somado com #?h, resulta: 
 a) #:d
 b) #,b
 c) 0
 d) #?h
 e) -#?h
 f) -1
<P>
64. Encontre o nmero racional que, dividido por -#:e, resulta: 
 a) 1
 b) #;i
 c) -#:e
 d) -#?c 
 e) 0 
 f) 2

65. Veja se a menina est certa: 

_`[{figura: duas crianas conversam_`]

  --  muito chato fazer 36`(-0,25`). Fala o menino.
  -- Ento faa 36'`(-4`) que d no mesmo. Diz a menina.

a) Efetue 36`(-0,25`). 
 b) Efetue 36'`(-4`). 
 c) A menina est certa?

66. Vamos ver por que dividir por 0,25  o mesmo que multi-
  plicar por 4. 
<P>
 a) Coloque 0,25 na forma de frao e simplifique. 
 b) Se voc dividir um nmero x pela frao obtida, o que vai acontecer? 
 c) Em vez de dividir o nmero x por 0,5, pode-se multiplic-lo por quanto?

67. No lugar de ..., escreva o nmero racional adequado: 
 a) Dividir por 5  o mesmo que multiplicar por ...
 b) Multiplicar por 0,4  o mesmo que dividir por ...
<R->

<84>
Ao sobre expresses numricas
  com racionais

Comandando a calculadora 

  Para esta atividade, vamos fazer uso de calculadora simples, como a da foto _`[no adaptada_`]. 
  Em duplas, os alunos devem resolver as questes seguintes: 
<P>
<R+>
1. Efetuar: 
 a) `(-71,6`)"`(-9,5`)"`(-13,1`) 
 b) -3.119,08-`(2.510,6-12,5896`) 
 c) 65.000+1.213"`(-53`) 
 d) 752,13-87,21"108,9+105 
 e) 2.131,8+14,2"`(77,17-
  -3,5"29`) 

2. No lugar de ..., colocar os sinais operatrios, *+*, *-*, *"* e **, para obter o resultado desejado. 
 a) `(-5,2`)...`(-6,3`)...4=-15,5 
 b) 6...6...`(-0,1`)=35,9 
 c) 6,3...8,9...1,2=16,98 
 d) `(-6,6`)...15...8=0,4 
 e) 5,2...`(-6,6`)...`(-2,3`)=
  =78,936 
 f) 12...0,02...`(-3,7`)=596,3 
 g) 6,8...1...`(-100`)=6,81 
 h) 50...40...3=-1,75 
 i) 24,6...49,2...3,6=-3,1 
 j) 3,7...`(-1,4`)...4,5=10 
  Se quiser, o professor pode estabelecer um tempo determinado para realizar a tarefa. Findo 
<P>
  esse tempo, sero declaradas vencedoras as duplas com maior nmero de acertos. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<85> 
6- Mdia aritmtica 

  Um aluno conseguiu as seguintes notas bimestrais em Lngua Portuguesa: 

_`[{tabela adaptada_`]

<F->
!::::::::::::::::::
l Bimestre _ Nota _
r:::::::::::w:::::::w
l 1       _ 7,0  _
r:::::::::::w:::::::w
l 2       _ 5,0  _
r:::::::::::w:::::::w
l 3       _ 4,0  _
r:::::::::::w:::::::w
l 4       _ 6,0  _
h:::::::::::j:::::::j
<F+>
<P>
  Veja o total de pontos que ele obteve: 7,0+5,0+4,0+6,0=22. 
  Para obter o mesmo total de 22 pontos com 4 notas bimestrais iguais, cada uma das notas deveria ser: 224=5,5.
  Dizemos ento que a mdia arit-
 mtica das notas bimestrais  5,5. 

  A mdia aritmtica de *n* nmeros  a soma de todos eles dividida por *n*. 

Exemplo 

  Uma cidade europeia apresentou em certo dia a temperatura mxima de -2,6 graus e a temperatura mnima de -5,2 graus. A mdia entre essas temperaturas : 
 ?-2,6+`(-5,2`)*2=-7,82=-39

Curiosidade

  A mdia aritmtica dos nmeros 112, 114, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128 pode ser encontrada pela simples observao do padro da sequncia de nmeros. 
  Veja que h quatro nmeros menores do que 120 e quatro nmeros maiores. Os nmeros menores se afastam 2, 4, 6 e 8 unidades de 120. Os nmeros maiores tambm se afastam 2, 4, 6 e 8 unidades. Assim, esses valores 
 a menos e a mais que 120 se compensam. 
  Portanto, a mdia aritmtica dos nove nmeros  120. Se tiver dvidas, faa as contas. 

<86> 
Mdia aritmtica ponderada 

  Um aluno obteve as seguintes notas em 3 provas de Matemtica: 
<P>
_`[{tabela adaptada_`]

<F->
  !:::::::::::::::
  l Prova _ Nota _ 
  r::::::::w:::::::w
  l 1    _ 5,0  _
  r::::::::w:::::::w
  l 2    _ 6,0  _
  r::::::::w:::::::w
  l 3    _ 7,5  _
  h::::::::j:::::::j
<F+>

  Acontece que a terceira prova continha mais dificuldades, e o professor disse que ela valia por 3 provas. Ou seja, o peso da terceira prova era 3. Nesse caso, para calcular a mdia, imaginamos que o aluno fez 5 provas com estas notas: 5,0; 6,0; 7,5; 7,5; 7,5. 
  Veja, ento, qual ser a sua mdia: ?5,0+6,0+3'7,5*5=
 =33,55=6,7. 
  Essa  uma *mdia aritmtica ponderada*. 

Lembrete

  Ponderar significa dar peso, dar importncia. Na mdia arit-
 mtica ponderada, alguns valores entram com mais peso, mais importncia que outros.

Atividades 

<R+>
68. Calcule a mdia aritmtica de: 
 a) 2 e 9 
 b) 2,9 e 4 
 c) 2,5; 5,0; 3,5 e 8 
 d) 12,1 e 49,7 
 e) 7; -5 e 10 
 f) 7,2 e 8

69. Calcule a mdia aritmtica de: 
 a) #,c, #,f e #,h 
 b) #;c, -#:d e #,f 
 
<87>
70. Nos ltimos cinco dias, uma cidade europeia apresentou as seguintes temperaturas: -12, -4, 2, 3 e -2 graus. Um esquiador decidiu que iria a essa cidade, mas com uma condio: s se a mdia dessas temperaturas fosse inferior a -2 graus. Nessas condies, ele deve ir  cidade? Por qu? 
 71. Num jogo de basquete, os jogadores da seleo tinham as seguintes alturas: 1,84 m; 1,92 m; 1,98 m; 2,04 m e 2,07 m. Qual  a altura mdia da seleo?

72. Seis pessoas estavam num elevador, quando ele enguiou. Elas tinham 55, 58, 63, 65, 71 e 120 quilogramas.
 a) Na mdia, quantos quilogramas tem cada uma? 
 b) Das seis pessoas, quantas tm peso inferior  mdia?

73. Em certo colgio, os alunos do 8 ano tinham 2 aulas semanais de geometria e 3 aulas semanais de lgebra. Por isso, combinou-se que a nota bimestral de Matemtica seria a mdia ponderada das notas de geometria (com peso 2) e de lgebra (com peso 3). 
 a) Calcule a nota bimestral de Paulo, que obteve 8,0 em geometria e 5,0 em lgebra. 
 b) Calcule a nota bimestral de Alice, que obteve 6,0 em geometria e 8,5 em lgebra.

74. A cidade do Rio de Janeiro  considerada uma das mais belas do Brasil e sempre foi muito visitada por turistas estrangeiros. A tabela mostra quantos turistas visitaram a cidade no incio do sculo XXI: 

_`[{tabela adaptada "Visitantes estrangeiros no Rio de 
  Janeiro"_`]
<P>

<F->
  !:::::::::::::::::::
  l 2001 _ 1.373.000 _
  r:::::::w::::::::::::w
  l 2002 _ 1.459.000 _
  r:::::::w::::::::::::w
  l 2003 _ 1.510.000 _
  r:::::::w::::::::::::w
  l 2004 _ 1.700.000 _
  h:::::::j::::::::::::j
<F+>

a) Nos anos apresentados na tabela, o nmero de turistas  crescente ou decrescente? 
 b) Qual  o nmero mdio de turistas por ano considerando os dados da tabela acima? 

<88>
Pensando em casa

75. Os dez jogos do Flamengo num campeonato tiveram os seguintes resultados: 2{"0, 2{"1, 2{"2, 0{"0, 4{"0, 2{"2, 1{"0, 0{"1 (aqui, o Flamengo perdeu), 3"0 e 2"3. Nesses jogos, calcule: 
 a) a mdia de gols do Flamengo, por partida; 
 b) a mdia de gols sofridos pelo Flamengo, por partida.

76. Na semana passada, estudei 2 horas na segunda-feira, #,b hora na tera, 3 horas na quarta, 3 horas na quinta, 2 horas na sexta e nada no sbado e domingo. Nesses sete dias, em mdia, quantas horas estudei por dia?

77. Neste bimestre, Cludio j fez trs provas de Matemtica, obtendo as notas 3,5, 4,0 e 4,0. Ele ainda far uma quarta prova, e a nota do bimestre ser a mdia aritmtica das quatro notas. Para a quarta prova, Cludio resolveu estudar, porque ele quer conseguir nota bimestral 5,0. Nesse caso: 
 a) Qual dever ser a soma de suas quatro notas? 
 b) Que nota ele dever ter na quarta prova?
<P>
78. Em um colgio, a nota final do aluno  a mdia aritmtica ponderada de suas quatro notas bimestrais.
  A nota do 1 bimestre tem peso 1 e as dos outros trs bimestres, peso 2. 
  Nesse colgio, qual  a nota final em Matemtica do aluno que teve 7,0 no 1 bimestre, 5,5 no 2 bimestre, 8,0 no 3 bimestre e 7,5 no 4 bimestre?

79. A distribuio das idades dos alunos de uma classe est indicada nesta tabela: 
<P>
<F->
  !:::::::::::::::::::::
  l nmero de _ idade    _
  l alunos    _          _
  r:::::::::::w::::::::::w
  l 6        _ 12 anos _
  r:::::::::::w::::::::::w
  l 15       _ 13 anos _
  r:::::::::::w::::::::::w
  l 4        _ 14 anos _
  h:::::::::::j::::::::::j
<F+>

a) Qual  a soma das idades de todos os alunos dessa classe? 
 b) Qual  a mdia das idades dos alunos da classe? 

<89>
80. Na situao do exerccio anterior aconteceu uma modificao. Entrou um novo aluno na classe, e a mdia das idades passou a ser de 13 anos, exatamente. Qual  a idade do novo aluno? 

81. Na reta _`[no adaptada_`] dos racionais, o nmero x est exatamente no meio da distncia entre #;e e #:b.
 a) Determine x. 
 b) Determine x1, o nmero que fica exatamente no meio da distncia entre x e #:b. 
 c) Determine x2, o nmero que fica exatamente no meio da distncia entre x e x1. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

82. Leia a histria seguinte. No ltimo quadrinho, na fala do professor, h um nmero faltando: o valor do salrio dos ou-
  tros empregados. Descubra esse valor. 

_`[{histria em quatro quadrinhos, descritos a seguir_`]

 1. O professor fala para a turma: "s vezes a mdia  boa, mas a distribuio  ruim."
 2. Um aluno pergunta: "Como assim?"
 3. O professor explica: "Por exemplo, a mdia salarial em uma empresa  1.000 reais."
 4. Ele confirmou: "O gerente ganha 7.300 e os outros empregados ganham ... cada um." Os alunos exclamam: "Ah!" 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<90>
7- Potenciao de racionais 

  Estudaremos novamente a potenciao, mas, agora, as bases sero nmeros racionais e os expoentes sero inteiros, podendo ser inteiros negativos. 

Definies bsicas 

  As definies bsicas a respeito de potncias continuam as mesmas. Veja: 

  Para todo nmero racional *a* e todo nmero inteiro *n*, com 
 n >1, tem-se: an=a"a"a"'''"a.
a"a"a"'''"a :> tem *n* fatores.
  Para n=1 tem-se a1=1. 
  Para n=0 e a=0 tem-se a0=1. 

  Agora, vamos a uma novidade: 
 o que acontece se o expoente for um inteiro negativo? O que resultaria de uma potncia como 2-1? 

Potncia com expoente inteiro 
  negativo 

  Observe a tabela de potncias de base 2: 

<F->
!::::::::::
l 23=8 _
r::::::::::w
l 22=4 _
r::::::::::w
l 21=2 _
r::::::::::w
l 20=1 _
h::::::::::j
<F+>

  Veja que os expoentes decrescem de 1 em 1 e que os resultados vo sendo divididos por 2. Continuando assim, teremos: 

<F->
!::::::::::::
l 23=8   _
r::::::::::::w
l 22=4   _
r::::::::::::w
l 21=2   _
r::::::::::::w
l 20=1   _
r::::::::::::w
l 2-1=#,b _
r::::::::::::w
l 2-2=#,d _
r::::::::::::w
l 2-3=#,h _
h::::::::::::j
<F+>
 
  O resultado vai sendo dividido por 2: 
<F->
12=#,b
#,b2=#,d 
#,d2=#,h
<F+>
<91>
  Observe o que est acontecendo: 
 2-1=1~2=1~21
 2-2=1~4=1~22
 2-3=1~8=1~23
  A potncia de expoente negativo  uma frao cujo numerador  1, e o denominador  a potncia inicial, mas o expoente tem o sinal trocado. 

  Para todo nmero racional no nulo *a* e para todo nmero inteiro *-n*, define-se: a-n=1an.

  Por exemplo: 
  3-4=134=1?3"3"3"
  "3*=#,ha.
  `(#:e`)-2=1`(#:e`)2=1?#:e"
  "#:e*=1?#*be*=#;?i. 

Lembrete
 
  Um modo prtico de calcular potncias com expoentes negativos  inverter a base e mudar o sinal do expoente. Assim: `(#:e`)-2=
 =`(#?c`)2=#;?i.
<P>
Propriedades das potncias 

  As propriedades das potncias, que voc j conhecia do captulo 1, permanecem vlidas quando a base  racional e o expoente  um nmero inteiro (positivo ou negativo). 

<92>
Exemplos 

<R+>
1. No produto de potncias de mesma base, somamos expoentes. 
  `(-#;e`)4'`(-#;e`)-3=`(-#;e`)?4+
  +`(-3)*=`(-#;e`)1=-#;e.
 2. Na diviso de potncias de mesma base no nula, o expoente da segunda potncia  subtrado do expoente da primeira.
  2-32-5=2?-3-`(-5`)*=
  =22=4.
 3. Para elevar uma potncia a um expoente, multiplicamos os expoentes. 
  `(-#;c`)-2-2=
  =`(-#;c`)?`(-2`)'`(-2`)*=
  =`(-#;c`)4=#,!ha.
<P>
 4. Um expoente pode ser distribudo pelos fatores de uma multiplicao. `(#;e'#,aa`)-3=
  =`(#;e`)-3'`(#,aa`)-3.
<R->

Utilidade 

  Voc tem alguma ideia sobre bactrias e vrus, no ? So seres muito pequenos. Bactrias costumam ter 0,001 milmetro de comprimento; vrus so menores ainda: 0,000001 milmetro de comprimento. Cientistas podem ser obrigados a fazer clculos envolvendo esses valores muito pequenos. Nesses casos,  prefervel escrever esses nmeros usando potncias: 0,001=10-3; 0,000001=10-6. 
  Se os valores pequenos so escritos na forma de potncia, as propriedades que vimos so muito teis para certos clculos.
<P> 
Atividades 

<R+>
83. Comece explorando as bases racionais. Efetue: 
 a) `(-#;e`)2 
 b) `(-5,1)2
 c) `(-#,b`)4 
 d) 3,720

84. Agora, use expoentes negativos. Calcule e d a resposta na forma decimal: 
 a) 10-3  
 b) 2-4 
 c) `(-4`)-2
 d) `(#?f`)-2

85. Observe a tabela: 

<F->
  !::::::::::::::::
  l -53=-125 _
  r::::::::::::::::w
  l -52=25   _
  r::::::::::::::::w
  l -51=-5   _
  r::::::::::::::::w
  l -50=1    _
  h::::::::::::::::j
<F+>
<P>
a) Dividindo -125 por um certo nmero, obtm-se 25. Dividindo 25 pelo mesmo nmero, obtm-se -5. Qual  esse nmero? 
 b) Continuando o padro, qual ser a prxima linha da tabela? 

<93>
86. Agora, voc deve usar as propriedades das potncias para transformar cada expresso em uma s potncia. 
 a) `(#"cc`)2'`(#"cc`)-3 
 b) `(#,ai`)2`(#,ai`)-5 
 c) `(#,,ab`)23
 d) `(0,03`)5-2

87. D um exemplo de uma potncia em que: 
 a) a base e o expoente so inteiros, mas a potncia no ; 
 b) a base no  um nmero inteiro, mas o expoente e a potncia so.

88. Considere a expresso: 0,001'10.000'0,00001 
<P>
 a) Escreva cada um dos fatores com uma potncia de base 10. 
 b) Efetue a multiplicao dessas potncias e d a potncia resultante. 
 c) Escreva esse resultado na forma de nmero decimal.

Pensando em casa 

89. Agora, calcule estas potncias de expoentes negativos: 
 a) `(-2`)-6 
 b) `(-#?i`)-1 
 c) `(#;e`)-2 
 d) 0,3-1

90. Observe a tabela: 

<F->
  !::::::::::::::::::::
  l 0,34=0,0081    _
  r::::::::::::::::::::w
  l 0,35=0,00243   _
  r::::::::::::::::::::w
  l 0,36=0,000729  _
  r::::::::::::::::::::w
  l 0,37=0,0002187 _
  h::::::::::::::::::::j
<F+>
<P>
  Utilize a tabela para calcular: 
 a) (0,3)10'(0,3)-6 
 b) (0,32)3 
 c) (0,00243)'(0,3) 
 d) (0,0002187)(0,000729)

91. Considere uma potncia cuja base  um nmero racional negativo e seu expoente  um nmero inteiro. 
 a) Se o expoente for par, qual ser o sinal do resultado? 
 b) E se o expoente for mpar?

92. Escreva com uma potncia de base 10: 
 a) 1.000  
 b) 10.000  
 c) 1.000.000  
 d) 1.000.000.000 
 e) 0,1
 f) 0,001
 g) 0,00001
 h) 0,000001

93. Os nmeros decimais tm esse nome porque so escritos em um sistema decimal. As caractersticas do sistema decimal ficam claras quando o nmero  escrito com potncias de 10. 
  Por exemplo, 37,12=3"101+
  +7"100+1"10-1+2"
  "10-2. 
  Escreva com potncias de 10: 
 a) 102,25 
 b) 3,123

94. De acordo com o texto, que utilidade podem ter potncias de base 10 e expoentes negativos (como 10-3 ou 10-7)? 

<94>
Desafios e surpresas

4. Considere as potncias: 0,7-2; 0,7-1; 0,70; 0,71; 0,72; 0,73. 
  Escreva-as na ordem crescente de seus valores.
 5. Considere as potncias: `(-#,b`)-2; `(-#,b`)-1; `(-#,b`)0; `(-#,b`)1; `(-#,b`)2 e `(-#,b`)3. Escreva-as na ordem crescente de seus valores.
<P>
6. Dobre ao meio uma folha de papel. Forma-se um caderno de duas folhas. Dobre ao meio de novo. O caderno ter quatro folhas. Imagine que voc continue dobrando a folha sem parar. 
 a) Copie e complete a tabela. 

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l nmero de _ nmero de folhas  _
l dobras    _ de caderno        _
r:::::::::::w:::::::::::::::::::w
l 1        _ 2                _
r:::::::::::w:::::::::::::::::::w
l 2        _ 4                _
r:::::::::::w:::::::::::::::::::w
l 3        _ '''               _
r:::::::::::w:::::::::::::::::::w
l 4        _ '''               _
r:::::::::::w:::::::::::::::::::w
l 5        _ '''               _
r:::::::::::w:::::::::::::::::::j
l 6        _ '''               _
h:::::::::::j:::::::::::::::::::j
<F+>
<P>
b) Escreva os nmeros da segunda linha da tabela como potncias de 2. 
 c) Quantas folhas ter o caderno aps 12 dobras? 
<R->
 
               ::::::::::::::::::::::::

<95> 
8- Raiz quadrada 

  J vimos a relao entre elevar ao quadrado e extrair a raiz qua-
 drada. 
  No conjunto dos racionais, dois nmeros opostos, como #:g e -#:g, elevados ao quadrado tm o mesmo valor, ou seja, #*di. `(#:g`)2=#*di; `(-#:g`)2=#*di.
  Considera-se a raiz quadrada de #*di, no entanto, apenas o racional no negativo que, elevado ao quadrado, d #*di: ?#*di*=#:g.
  O oposto de ?#*di*  -?#*di*; ento, -?#*di*=-#:g. 
  Por exemplo: 
  ?#be*=#;e 
  -?#,d*=-#,b
<P>
  Em _q, a raiz quadrada pode no existir. 
  Como exemplo, considere ?#,b*. 
  Pode-se demonstrar que no existe nmero racional que, elevado ao quadrado, d #,b. Em outras palavras, em _q no existe ?#,b*. 
  Agora uma pergunta: Em _q existe ?-#*di*? 
  O quadrado de um nmero racional nunca  negativo. Portanto, os racionais negativos no podem ser quadrados. Isso significa que os nmeros negativos no tm raiz quadrada em _q. Logo, no existe ?-#*di*. 

<R+>
 A extrao da raiz quadrada no tem a propriedade do fechamento em _q. 
  Em _q, no existe raiz quadrada de nenhum racional negativo. 

<96> 
<P>
Atividades

95. Calcule: 
 a) ?#,!di*
 b) -?#,d*
 c) ?#",ajj*
 d) -?#;?fd* 
 e) ?#,afi*
 f) -?#*aba*

96. O nmero 4,41 est entre 22=4 e 32=9. Por isso, para calcular 4,41, comeamos fazendo estas tentativas: 2,12; 2,22; 2,32 etc. Logo, descobre-se que 4,41=2,1. Use esse mesmo raciocnio e encontre o valor de 5,29.

97. Calcule, fazendo apenas multiplicaes: 
 a) 1,44  
 b) 1,69 
 c) 0,01
 d) 0,0009
<P>
98. Existe uma relao entre o lado de qualquer quadrado, sua diagonal e o nmero 2. Veja se voc descobre essa relao, respondendo s questes. 
 a) 2 vale aproximadamente 1,4 ou 1,5? 
 b) No quadrado, _`[no adaptado_`] quanto mede o lado *l*? E a diagonal *d*? 
 c) Qual a relao entre *d*, *l* e 2?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

99. Lembrando-se de que, nas expresses numricas, as potncias e as razes so efetuadas antes das multiplicaes e divises, efetue: 
 a) 7'?#,di*-`(#:e+#;e`) 
 b) 4'2,25-`(2-9`)
<P>
100. Quanto mede o lado de um quadrado que tem uma rea de 6,25 cm2? 
  Quer uma ajuda? 
  Conhecendo o lado do quadrado, podemos calcular a sua rea: 
  lado: elevando ao quadrado 
  :> rea.
  Conhecendo a rea, percorremos o caminho inverso: 
  rea: extraindo a raiz quadrada 
  :> lado.
  Nesses casos, temos: 
  rea 6,25 cm2: extraindo a raiz quadrada :> lado @6,25.
  Por tentativas, voc deve procurar um nmero decimal que, elevado ao quadrado, d 6,25. 
  Primeiro, veja se esse nmero est entre 2 e 3 ou 3 e 4 ou... 
  Depois, se estiver, por exemplo, entre 3 e 4, voc dever fazer 3,12; 3,22; 3,32 etc. 
  Mas no se engane! O nmero no est entre 3 e 4. 

<97>
101. Diga quantos so os nmeros racionais que, elevados ao qua-
  drado, resultam:
 a) #,!be
 b) -#,!be
 c) 0
 d) 1

102. Efetue: 
 a) 32 
 b) `(16`)2 
 c) `(#;c`)2 
 d) `(#;?d`)2

103. Juntando os dois quadrados e os dois retngulos da figura, vou montar um quadrado: 

_`[{figuras adaptadas_`]

  Um retngulo de rea 0,5 cm2, um quadrado de rea 1 cm2, um quadrado de rea 0,25 cm2 e um retngulo de rea 0,5 cm2.
  Veja as reas indicadas na figura. 
 a) Qual  a rea do quadrado que ser montado? 
 b) Qual  a medida do lado do quadrado que ser montado? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Pensando em casa

104. Efetue: 
 a) -?#,!be*+?#,ajj*
 b) -?#,!be*+?#,ajj*?#;?cf*
 c) `(1-?#,af*`)2
 d) 2'`(7-?#,af*'3`)
 e) -0,21+`(-2+0,81`)2
 f) ?0,5-0,14*

105. Para obter o valor de 721,52, voc no precisar fazer contas. 
 a) Qual  esse valor? 
 b) Explique o que voc fez para obt-lo.
<P>
106. Um terreno quadrado tem 500 m2 de rea. Calcule a medida aproximada dos lados do terreno, apresentando essa medida com um nmero inteiro de metros.

107. Obtenha um valor inteiro, aproximado, para: 
 a) 150 
 b) 260 
 c) 370 
 d) 450 

<98>
Desafios e surpresas

7. Temos trs quadrados, um so-
  bre o outro: o quadrado amarelo-claro tem 400 cm2 de rea e o quadrado azul tem 441 cm2. Sabendo-se que os seg-
  mentos {a{b e {b{c tm a mesma medida, diga qual  a rea do quadrado vermelho. 
<P>
Legenda:
  am: amarelo
  v: vermelho 
  az: azul
 
<F->
  A !:::::::::::::
     l az          _  
  B r::::::::    _
     l v      _    _
  C r:::::  _    _
     l am  _  _    _
     l     _  _    _
     r:::::j::j    _ 
     l             _
     h:::::::::::::j
<F+>

_`[{o professor diz: "Lembre-se: extrair raiz quadrada e elevar ao quadrado so operaes inversas. Por isso os clculos da lousa parecem mas no so complicados." No quadro de giz est escrito:
  3,72=3,7
  1,71,7=1,7
  132=13_`] 
<R-> 

               oooooooooooo
<99>
<P>
Captulo 3 -- Equaes 

<100> 
1- Primeiras ideias sobre 
  equaes 

_`[{figura descrita a seguir_`]

<R+>
  Balana em equilbrio. Num prato h dois queijos e um peso de 6 kg e no outro, um peso de 13 kg.
<R->

  A balana est equilibrada e os dois queijos tm pesos iguais. Quantos quilogramas tem cada um? 
  Para responder a essa pergunta, podemos pensar assim: 
<R+>
  Como a balana est em equilbrio, se tirarmos 6 kg de cada prato ela vai continuar em equilbrio. 
  Dois queijos, ento, se equilibram com 13-6 ou 7 quilogramas. 
  Como os queijos tm pesos iguais, ento cada queijo tem #=b=3,5 quilogramas. 
<R->
  Outra forma de responder  pergunta consiste em usar uma letra para indicar o peso desconhecido. Nesse caso, estaremos usando lgebra. Veja, a seguir, como  o raciocnio algbrico. 
  Cada queijo tem x quilogramas. Logo, podemos escrever: 
<R+>
 um queijo :o x
 dois queijos :o 2'x 
 o que est num dos pratos 
 :o 2'x+6 
 o que est no outro prato :o 13
 2'x+6=13 
<R->
  Usando operaes inversas, vamos agora encontrar o valor de x: 
 2'x+6=13.
  A operao inversa de somar 6  subtrair 6. 2'x=13-6.
  Isso equivale a "tirar 6" dos dois pratos da balana. 2'x=7.
  A operao inversa de multiplicar por 2  dividir por 2.
 x=72
 x=3,5
  Ento, x=3,5, ou seja, cada queijo tem trs quilogramas e meio. 
  Uma sentena como 2'x+6=13  uma equao. 

  Toda equao tem: 
<R+>
  pelo menos uma letra que indica um nmero desconhecido; 
  um sinal de *=* entre duas expresses. 
<R->

<101>
  A letra  a incgnita da equao. Por exemplo, na equao 2'x+6=13, a incgnita  x. 
  A palavra *incgnita* significa *desconhecida*; a palavra *equao*, cujo prefixo *equa* em latim quer dizer *igual*, significa 
 *igualdade entre duas expresses numricas*. 
  Numa equao, a expresso que vem  esquerda do sinal *=*  chamada de 1 membro e a da direita  o 2 membro. 2'x+6=13.
 1 membro: 2'x+6
 2 membro: 13 
  Qualquer parcela, do 1 ou do 2 membro,  um termo da equao. 
 2'x+6=13. Termos da equao: 2'x; +6 e 13. 
  Resolvendo a equao 2'x+6=13, obtivemos x=3,5. Ento, 3,5  a soluo da equao, pois este  o nico valor de x para o qual vale essa igualdade. 
  Compare o que acontece quando, em 2'x+6=13, substitumos x por 3,5, que  a soluo, e quando substitumos x por outro valor, como 3. 
<R+>
 o Substituindo x por 3,5 em 2'x+6=13.

<F->
  !::::::::::::::::::::::::
  l 1 membro _ 2 membro _
  r::::::::::::w::::::::::::w
  l 2'3,5+6 _ 13        _
  l 7+6      _ 13        _
  r::::::::::::j::::::::::::w
  l          13=13        _
  h:::::::::::::::::::::::::j

  3,5  soluo da equao.
<P>
o Substituindo x por 3 em 2'x+6=13.
<R->

  !::::::::::::::::::::::::
  l 1 membro _ 2 membro _
  r::::::::::::w::::::::::::w
  l 2'3+6   _ 13        _
  l 6+6      _ 13        _
  r::::::::::::j::::::::::::w
  l          12=13       _
  h:::::::::::::::::::::::::j

  3 no  soluo da equao. 
<F+>

  As equaes que vamos estudar agora so chamadas equaes do 1 grau, porque nelas o expoente do x ser sempre 1. 

Ateno

  Nas multiplicaes em que um dos fatores  x, ou qualquer letra que represente um nmero, pode-se omitir o sinal de vezes. Por exemplo: 2x indica 2'x; 2x+6 indica 2'x+6. 

<102>
Atividades

<R+>
1. Estas balanas esto equilibradas. Escreva a equao correspondente a cada figura e encontre o valor de x: 

_`[{figuras: duas balanas em equilbrio_`]

a) Num prato: x, x e 2; no outro prato: 13.
 b) Num prato: x, x, x e 7; no outro prato: 42 e 34.

2. Considere a equao 5x+5=4x-2. 
 a) Substituindo x por -7 e efetuando os clculos, mostre que -7  soluo da equao. 
 b) Agora mostre que 5 no  soluo da equao. 

3. Num prato de uma balana, um menino colocou 2 canetas e 5 borrachas. Elas se equilibraram com 7 lpis colocados no outro prato. Cada lpis tem 5 gramas e cada borracha, 3 gramas. Quantos gramas tem cada caneta? 
  Sugesto: 
  Vamos fazer uma figura para ilustrar a situao: 

_`[{figura de uma balana em equilbrio; prato da esquerda: 2 canetas de x gramas cada uma e 5 borrachas de 3 gramas cada uma; prato da direita: 7 lpis de 5 gramas cada um_`]

  Considere que cada caneta tenha x gramas. 
  Escreva uma equao representando o equilbrio da balana. 
  Encontre a soluo da equao. E ento? Quantos gramas tem cada caneta?
 4. Numa balana, 15 mas, cada uma com 180 gramas, mais 8 laranjas, cada uma com x gramas, equilibram-se com uma melancia de 4.300 gramas. Quanto vale 
<P>
  x? Resolva esse problema com palavras, como no primeiro exemplo do texto.
 5. Resolva o problema anterior usando uma equao.

6. Encontre a soluo das seguintes equaes: 
 a) 7x+17=10 
 b) 7x+17=16 
 c) 5x-40=60 
 d) 3x-64=-100

7. Determine a soluo destas equaes de incgnita y: 
 a) 3y+8=2 
 b) 10y-7=-1 
 c) 5y-41=-6 
 d) 2y+43=5

8. Lembre-se de que -3x~7 significa -3'x7. Assim, voc pode utilizar a ideia de operao inversa para obter soluo de: 
 a) 3x~7=6 
 b) ?3x-15*~2=8
<P>
 c) ?8x+5*~3=-1 
 d) ?2x+5*~4=2

<103>
Pensando em casa

9. Estas balanas esto equilibradas. Escreva a equao que corresponde a cada figura e calcule o valor de x. 

_`[{duas balanas em equilbrio_`]

a) Num prato: x, x, x e 12; no outro prato: 9 e 15.
 b) Num prato: x, x, x, x, x e 8; no outro prato: 25 e 15. 

10. Imagine uma balana na qual 3 tabletes iguais de margarina mais um pacote de manteiga de 250 g equilibram 700 g de queijo. 
 a) Escreva uma equao para mostrar esse equilbrio. 
 b) Quantos gramas tem cada ta-
  blete de margarina?

11. Pensei em um nmero, multi-
  pliquei-o por 6 e subtra 72 do resultado. Obtive 66. 
 a) Chamando o nmero desconhecido de x, escreva a equao que corresponde ao que eu fiz. 
 b) Calcule o valor de x.

12. Resolva as equaes descobrindo o valor de x. 
 a) 3x+17=11 
 b) 5x-9=-8 
 c) 6x-18=-6 
 d) 9x-2=-11

13. Determine a soluo destas equaes: 
 a) `(-19`)'y=-133 
 b) y-19=-133 
 c) 8y-9=23 
 d) 5y-9=-23 
 e) 7x~2=21
 f) ?3x-15*~3=5 

_`[{a professora diz: "As equaes so fundamentos muito importantes da matemtica. No dia a 
<P>
  dia, elas so muito utilizadas para resolver problemas."_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
 
<104> 
2- Uso das equaes 

  As equaes so teis na resoluo de muitos problemas. 

Exemplos 

<R+>
1. Para dar a nota bimestral, um professor avalia os seus alunos por meio de uma prova e um trabalho: a prova tem peso 2 e o trabalho, peso 1. A nota bimestral  a mdia aritmtica ponderada dessas notas: 
  ?2'P+T*3= nota bimestral. 

_`[{o professor explica para os alunos: "P  a nota da prova e T  a nota do trabalho."_`]
<P>
  Mariana obteve nota 4,0 no trabalho e quer ter nota bimestral 7,0. Que nota ela precisa obter na prova? 
  Veja o que deve acontecer: 
  ?2'P+T*3= nota bimestral
  T=4 :> leva  equao:
  ?2P+4*3=7 :> equao na incgnita P.
  O problema est equacionado. Vamos ento resolver essa equao: ?2P+4*3=7. 
  A operao inversa de dividir por 3  multiplicar por 3.
  2P+4=7'3
  2P=21-4
  P=172=8,5
  Ento, Mariana ter de estudar muito: ela precisa tirar 8,5 na prova. 
<R->

<105>
Ateno 

  Quando uma multiplicao tem como fator uma expresso entre parnteses, pode-se omitir o sinal de vezes. 
<P>
  Por exemplo: 
 5(3+6) indica 5'(3+6) 
 3`(x-5`) indica 3'`(x-5`) 
 `(x+2`)`(x+3`) indica `(x+2`)'`(x+3`) 

<R+>
2. Pensei em um nmero em que as pessoas dificilmente pensariam. A, somei-o com 7 e multipliquei o resultado por 5. Depois, subtra o dobro do nmero pensado no incio. Deu 23. 
  Em que nmero pensei? 
  Chamando de *x* o nmero pensado, temos: 
  Pensei em certo nmero: x
  Somei 7: x+7
  Multipliquei por 5: 5`(x+7`)
  Subtra o dobro do nmero pensado: 5`(x+7`)-2x
  Deu 23: 5`(x+7`)-2x=23

  5`(x+7`)-2x=23 :o equao 
  em *x* 
<P>
  Repare na equao 5`(x+7`)-
  -2x=23. 
  Note que esses parnteses so necessrios. Sem eles, 5 multiplicaria apenas x, e no x+7. 
<106>
  Observe ainda que, nesse caso, no  possvel efetuar primeiro o que est dentro dos parnteses: no conhecemos o valor de x. A maneira de eliminar os parnteses  usar a propriedade distributiva da multiplicao: 5x+7-2x=23.
  Efetuamos 5x+7=5x+5"7.
  5x+35-2x=23
  5x-2x+35=23
  Efetuamos 5x-2x=3x.
  3x+35=23
  3x=-12
  x=-123=-4 
  Pensei no nmero -4. Confira!

Atividades 

14. Resolva as equaes: 
 a) ?3x+2*2=7 
 b) ?7x+5*2=27
<P>
 c) 3x+2x+1=6
 d) 7x+5x=6

<R+>
15. Dona Regina Helena, professora de Lngua Portuguesa, calcula a mdia bimestral dos seus alunos assim. 
  ?2R+3P*5=mdia
  R  a nota de redao e P  a nota da prova. 
 a) Juliana obteve nota 6,0 na redao e quer ter nota bimestral 7,5. Que nota ela deve obter na prova? 
 b) Marcos tirou 4,5 na redao e quer ter nota bimestral 7,5. Que nota ele deve tirar na prova?

16. Pensei em certo nmero, multipliquei-o por 3, subtra 5 e somei o nmero em que tinha pensado. Deu 11. Em que nmero pensei?
 17. A expresso ?3x+17*2 indica que um certo nmero foi multiplicado por 3, somado com 17 e dividido por 2. Sabendo que o resultado dessas operaes foi 16, encontre o nmero.
 18. Pensei em certo nmero, somei-o com 52 e dividi o resultado por 5. Obtive 44. Qual foi o nmero pensado?
 19. Pensei em certa frao. Somei #,d, multipliquei por 2 e subtra #,b. Deu #:d. Em que nmero pensei?

20. Veja esta traduo para a linguagem matemtica: 
  um nmero mais o dobro dele 
  :o x+2x. 
  Agora, voc  quem traduz: 
 a) um nmero mais o triplo dele; 
 b) a metade do triplo de um nmero; 
 c) um nmero somado com 8 e, depois, dividido por 8. 

<107>
Pensando em casa

21. Resolva as equaes: 
 a) x+x+x=78 
 b) 2x+3x+4=189 
 c) 2x+3x+4x=189 
 d) 5x-4-3x=-16 
 e) ?5x+x-4*7=-4
 f) ?8x-9-x*5=-1 

22. Pensei em um nmero. Multipliquei-o por 4, subtra 8 e, depois, subtra o triplo do nmero pensado. Obtive -3. Em que nmero pensei?
 23. Pensei em um nmero racional. Somei 1,5, multipliquei por 5 e subtra 15,1. Deu 8,4. Em que nmero pensei?

24. Um aqurio tem a forma de um paraleleppedo retangular. Para calcular seu volume *V*, multiplicamos o comprimento *c* pela largura *l* e pela altura *a*: 
  Volume = comprimento " largura
  " altura 
  V=c"l"a 
  Quando *c*, *l* e *a* esto em decmetros, o volume  dado em decmetros cbicos ou litros. 
 a) Um aqurio desse tipo, com 7 dm de comprimento e 2 dm de largura, tem um volume de 28 litros. Substituindo esses nmeros em V=c"l"a, obtm-se uma equao na incgnita *a*. Escreva essa equao. 
 b) Qual  a altura do aqurio?

25. Um nmero mais o triplo dele d 28. Qual  o nmero?

 26. Um nmero somado com 8 e, depois, dividido por 8, d 8. Qual  o nmero? 
<R->

<F->
  !::::::::::::::::::::
  l No leve dvidas  _
  l   para casa.       _
  l Pergunte a seu    _
  l   professor ou     _
  l   professora.      _
  h::::::::::::::::::::j
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<108>
<P>
3- Recursos para resolver uma 
  equao 

  A balana est em equilbrio. Todas as garrafas tm o mesmo peso e cada lata tem 2 kg. Quantos gramas tem cada garrafa? 

<R+>
_`[{figura: uma balana em equilbrio. No prato da esquerda esto sete garrafas e uma lata de 2 kg; no da direita, duas garrafas e trs latas de 2 kg_`]
<R->

  Retirando pesos iguais dos dois pratos, a balana continua em equilbrio. 

<R+>
_`[{duas figuras descritas a seguir_`]

 1. Da balana anterior foram retiradas duas garrafas e uma lata com 2 kg de cada prato.
 2. Na balana em equilbrio esto num prato 5 garrafas e no outro duas latas com 2 kg.
<R->

  Veja: 5 garrafas tm 4 kg. 
  Ento, cada garrafa tem 4 kg5, ou #e kg. 
  Como 45=0,8, conclumos que cada garrafa tem 0,8 kg, ou seja: cada garrafa tem 800 g. 

<109>
Usando uma equao 

  O problema anterior, da balana, pode ser resolvido por meio de uma equao. Se cada garrafa tiver x quilogramas, o equilbrio dos dois pratos pode ser escrito da seguinte maneira: 7x+2=6+2x. 
  Podemos retirar valores iguais dos dois membros da equao: 
 7x+2=6+2x.
  Subtramos 2x de cada membro. 
 7x+2-2x=6+2x-2x 
 7x-2x+2=6+2x-2x 
 5x+2=6 
  Agora, subtramos 2 de cada membro. 
 5x=4 
 x=#e
<P>
  Ento cada garrafa tem #e kg, ou seja, 800 g. 
  A relao entre balanas de dois pratos e equaes voc j conhece. 
  Ocorre, porm, que nas equaes voc pode fazer mais operaes do que nas balanas. 

  Para resolver equaes, 
 podemos:
<R+> 
  somar um mesmo nmero aos dois membros; 
  subtrair um mesmo nmero dos dois membros; 
  multiplicar os dois membros por um mesmo nmero, no nulo; 
  dividir os dois membros por um mesmo nmero, no nulo. 

Exemplos 

1. Vamos resolver a equao 3x-8=8-x.
  3x-8=8-x 
  Somamos x aos dois membros. 
  (3x-8)+x=`(8-x`)+x 
  3x+x-8=8-x+x 
  4x-8=8 
  4x=16 
  x=4 
<110>
 2. Vamos resolver a equao: 5`(-x-7`)=6-4x+8. 
  5`(-x-7`)=6-4x+8
  Efetuamos a multiplicao usando a propriedade distributiva. 
  -5x-35=6-4x+8 
  Somamos 4x aos dois membros.
  -5x-35+4x=6-4x+8+4x 
  -5x+4x-35=6+8-4x+4x 
  -x-35=14 
  -x=14+35 
  -x=49 
  Multiplicamos os dois membros por -1. 
  `(-1`)'`(-x`)=`(-1`)'49 
  x=-49
  Observe: em -x=49, tnhamos o valor de -x, mas no o de x. Por isso, multiplicamos os dois membros por -1. 
<P>
Atividades 

27. Esta balana est em equilbrio. Vamos considerar que as trs abboras tenham o mesmo peso. 

_`[{figura: balana em equilbrio. No prato da esquerda esto duas abboras e um peso de 8 kg; no da direita, uma abbora, um peso de 3 kg e outro de 8 kg_`]

  Retirando as mesmas coisas dos dois pratos da balana, ela mostrar diretamente quantos quilogramas tem uma s abbora. Para isso acontecer, o que se deve retirar de cada prato? Quantos quilogramas tem cada abbora? 
 28. Considere a equao 7x=2x+45. Subtraindo uma mesma expresso dos dois membros, a incgnita deixar de aparecer no 2 membro. Qual  
<P>
  a expresso a ser subtrada? Qual  o valor de x? 
 29. Escreva a equao correspondente ao equilbrio da balana e depois resolva a equao. 

_`[{figura: balana em equilbrio. No prato da esquerda esto 3 pesos de x e um de 10; no da direita, um peso de x e outro de 25_`]

30. Encontre a soluo das seguintes equaes: 
 a) 5x=2x+3 
 b) 3`(2-2x`)=-7x 
 c) 4`(2-2x`)+7x=5`(3+2x`) 
 d) 6`(x-3`)=7`(x+1`)-16 

<111> 
31. D um giro completo no circuito da figura efetuando as operaes indicadas e voc perceber a seguinte coincidncia: volta-se ao nmero inicial e da em diante tudo se repete. Confira! 
<P>
_`[{circuito adaptado, os crculos foram substitudos por retngulos. Comeando no primeiro retngulo superior a esquerda, no sentido horrio_`]
<F->
Legenda:
  A: some 4
  B: multiplique por 2
  C: multiplique por 3
  D: subtraia 1

!:::::::     A      !:::::::
l -4,6 _:::::::::::::l -0,6 _
h:::::::j             h:::::::j
   l                      _
D l                    B_ 
   l                      _
!:::::::             !:::::::  
l -3,6 _:::::::::::::l -1,2 _
h:::::::j     C      h:::::::j

a) Complete o prximo circuito.

_`[{circuito adaptado, os crculos foram substitudos por retngulos. Comeando no primeiro re-
<P>
  tngulo superior a esquerda, no sentido horrio_`]
Legenda:
  A: some 3
  B: multiplique por 2
  C: some -5
  D: multiplique por 0,75

!:::::   A      !::::::
l ''' _:::::::::::l 1,5 _
h:::::j           h::::::j
   l                 _
D l               B_ 
   l                 _
!:::::           !:::::  
l ''' _:::::::::::l ''' _
h:::::j   C      h:::::j

b) O prximo  um desafio. Complete o circuito.

_`[{circuito adaptado, os crculos foram substitudos por retngulos. Comeando no primeiro retngulo superior a esquerda, no sentido horrio_`]
<P>
Legenda:
  A: some 2
  B: multiplique por 3
  C: some 8
  D: multiplique por 7 

!:::::   A      !:::::
l ''' _:::::::::::l ''' _
h:::::j           h:::::j
   l                 _
D l               B_ 
   l                 _
!:::::           !:::::  
l ''' _:::::::::::l ''' _
h:::::j   C      h:::::j
<F+>

  Sugesto para a parte *b*: 
  Indique por x o nmero do crculo superior esquerdo. 
  Depois, siga o circuito: 
  crculo superior direito: x+2 
  crculo inferior direito: 3`(x+2) 
  Continue at voltar ao crculo superior esquerdo, cujo nmero  indicado por x. 
  Voc ter uma equao como esta: ...=x.
  Aps resolver a equao, preencha os crculos.

32. Descubra os nmeros destes dois circuitos: 
 a)

_`[{circuito adaptado, os crculos foram substitudos por retngulos. Comeando no primeiro retngulo superior a esquerda, no sentido horrio_`]
<F->
Legenda:
  A: subtraia 5
  B: some 8
  C: multiplique por 5
  D: some 9

!:::::   A      !:::::
l ''' _:::::::::::l ''' _
h:::::j           h:::::j
   l                 _
D l               B_ 
   l                 _
!:::::           !:::::  
l ''' _:::::::::::l ''' _
h:::::j   C      h:::::j
<P>
b)

_`[{circuito adaptado, os crculos foram substitudos por retngulos. Comeando no primeiro retngulo superior a esquerda, no sentido horrio_`]
Legenda:
  A: multiplique por 2
  B: multiplique por 2
  C: subtraia 5
  D: some 6

!:::::   A      !:::::
l ''' _:::::::::::l ''' _
h:::::j           h:::::j
   l                 _
D l               B_ 
   l                 _
!:::::           !:::::  
l ''' _:::::::::::l ''' _
h:::::j   C      h:::::j
<F+>

33. Veja que coincidncia! Com 6 e 1,2, a adio e a multi-
  plicao tm resultados iguais: 6,0+1,2=7,2 e 1,2"6=7,2.
  O mesmo tipo de coincidncia ocorre para um certo nmero e 5. Com eles, a adio e a 
  multiplicao tm resultados iguais. Qual  esse resultado?

34. Cada lapiseira custa R$4,00 a mais que um lpis. Ento, um lpis custa x e cada lapiseira custa x+4. Duas lapiseiras e um lpis juntos custam R$11,00. 
 a) Escreva uma equao em x. 
 b) Resolva essa equao.

35. Um lpis custa x e uma lapiseira custa x+5. Duas lapiseiras custam o mesmo que sete lpis. 
 a) Escreva uma equao em x. 
 b) Encontre o preo de cada lpis. 

<112>
Pensando em casa

36. Escreva a equao correspondente ao equilbrio da balana e depois resolva a equao:
<P>
_`[{figura: balana em equilbrio. No prato da esquerda esto dois pesos de x e um peso de 6; no da direita, trs pesos de x e um peso de 3_`]

37. Resolva as equaes: 
 a) 4x+9=x-6 
 b) 5x-3+2x=x+3x 
 c) 2x+4-x=2`(x+1`) 
 d) 5`(3x+2`)=4-4x-10

38. Quais so os trs nmeros deste circuito?

_`[{circuito adaptado, os crculos foram substitudos por retngulos. Comeando no primeiro retngulo superior, no sentido horrio_`]
<F->
Legenda:
  A: some 5
  B: multiplique por 4
  C: subtraia 71
<P>
       !:::::
       l ''' _
       h:::::j
        i    e
       i      e
   C i        e A
     i          e
    i            e
!::i::        !::e::  
l ''' _::::::::l ''' _
h:::::j   B   h:::::j
<F+>
   
39. A adio de 3 e um certo nmero racional tem o mesmo resultado da multiplicao desses mesmos nmeros. Qual  esse resultado?
 40. Pensei em um nmero, somei 200 e dividi o resultado por 41. Foi uma grande coincidncia! Deu o nmero que eu tinha pensado. Qual  esse nmero?
 41. Carla teria 4 horas (ou seja, 240 minutos) livres  tarde. Aps muita briga com a me, ela aceitou estudar x minutos de Matemtica, x+20 minutos de Lngua Portuguesa e, no triplo desse tempo, ver televiso. Quanto tempo Carla vai dedicar a cada atividade? 
 42. Carolina, Jlia e Diogo disputaram uma partida de 
  *videogame*. Quando terminaram, Jlia disse: 
  -- Fiz 140 pontos a mais que Carolina. 
  Diogo disse: 
  -- Ganhei! Fiz o triplo dos pontos da Jlia. E tem mais: fiz exatamente 1.000 pontos a mais que Carolina.
  Quantos pontos cada um deles fez?

<113>
Desafios e surpresas 

<R+>
1. Num quadrado mgico, a soma dos nmeros de cada linha, coluna ou diagonal  sempre a mesma. Descubra o valor de x em cada quadrado mgico seguinte e, depois, complete cada quadrado: 
<P>
<F->
a)

  !::::::::::::::::::
  l      _      _      _
  l x-1 _ ...  _ x-3 _
  l      _      _      _
  r::::::w::::::w::::::w
  l      _      _      _
  l ...  _ x    _ -3  _
  l      _      _      _
  r::::::w::::::w::::::w
  l      _      _      _
  l 12  _ ...  _ x+1 _
  l      _      _      _
  h::::::j::::::j::::::j
<P>
b) 

  !:::::::::::::::::::::::
  l      _          _       _
  l ...  _ ...      _ 4x   _
  l      _          _       _
  r::::::w::::::::::w:::::::w
  l      _          _       _
  l ...  _ 5`(x+1`) _ ...   _
  l      _          _       _
  r::::::w::::::::::w:::::::w
  l      _          _       _
  l x    _ ...      _ x-2  _
  l      _          _       _
  h::::::j::::::::::j:::::::j
<F+> 

2. Conta-se que, certa vez, um homem muito avarento entrou em uma igreja e desafiou Santo Antnio: se o santo duplicasse o dinheiro que ele tinha no bolso, colocaria R$18,00 na caixinha da campanha de auxlio s comunidades carentes. 
  O milagre aconteceu e o homem cumpriu sua promessa. E gostou tanto que prometeu dar mais R$18,00 se o santo, outra vez, multiplicasse por 2 o dinheiro que tinha no bolso. Novamente, o milagre aconteceu, mas quando ele colocou os outros R$18,00 na caixinha, percebeu que ficara sem dinheiro nenhum. 
  Com quanto dinheiro o homem tinha entrado na igreja? 
  Sugesto: chame de x o dinheiro que ele tinha no incio. 
 3. Observe as trs situaes de pesagem: 

_`[{figuras: trs balanas_`]

1. Balana em equilbrio. No prato da esquerda esto duas caixas de gua de coco; no da direita, oito bolinhas.
 2. Balana em equilbrio. No prato da esquerda esto duas caixas de gua de coco; no da direita, quatro bolinhas e dois saleiros.
 3. Balana desequilibrada. O prato da esquerda est mais alto do que o da direita. No prato da esquerda s tem uma bolinha; no da direita, h uma caixa de gua de coco e um saleiro.

  Quantas bolinhas precisam ser colocadas na terceira balana para haver equilbrio? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<114>
4- Uma equao especial 

  Vamos resolver a equao: x~15=6~9. 
  Podemos eliminar os denominadores que aparecem nessa equao, multiplicando os dois membros por 15'9: x~15=6~9, ento, 15"9"x~15=15"9"6~9. 
  Portanto: 9"x=15"6. 
  Na prtica,  comum passarmos diretamente de x~15=6~9 para 9"x=15"6. 
  Essa passagem  chamada de multiplicao em cruz: x~15=6~9. Temos: 9x=15"6, que corresponde a 9x=90. 
  Portanto: x=10. 
  A multiplicao em cruz pode ser usada em todas as equaes do mesmo tipo do exemplo. Esse  um tipo de equao que vai surgir muitas vezes em sua vida de estudante. 
  Por isso,  conveniente conhecer uma maneira rpida de resolv-la. 

<115>
Atividades 

<R+>
43. Utilizando a multiplicao em cruz, resolva estas equaes: 
 a) x~6=14~21
 b) x~9=18~27
 c) 12~x=3~7
 d) 15~2=90~x
 
44. Resolva a equao: ?x+7*~12=1~2.
  Sugesto: 
  Aqui voc tambm poder utilizar a multiplicao em cruz. No se esquea de utilizar os parnteses na multiplicao: 2`(x+7`).
<P>
45. Resolva agora estas equaes: 
 a) ?x+4*~15=2~3 
 b) ?x+4*~3=?x+3*~4 

46. Encontre a soluo da equao: ?2x-7*~5=?8x-31*~5. 
  Ateno! 
  Aqui tambm seria correto multiplicar em cruz. Mas no seria mais fcil simplesmente multi-
  plicar tudo por 5? Veja: 
  5'?2x-7*~5=5'?8x-31*~5
  2x-7=8x-31 
  Agora voc tem uma equao fcil de resolver. 
  Moral da histria: sempre  bom parar e pensar, em vez de resolver mecanicamente os problemas.

47. Agora, encontre a soluo destas equaes: 
 a) ?4x-7*~3=5x~3
 b) ?5x-1*~18=?11-x*~18

48. Determine o valor de x na equao: 3x~5+3~4=x~10.
  Sugesto: 
  Primeiro, perceba que aqui no faz sentido multiplicar em cruz porque no se trata da igualdade de duas fraes. Veja um roteiro para resolver a equao: 
  reduza todas as fraes a um denominador comum; 
  multiplique os dois membros pelo nmero que  denominador comum; 
  voc ficar ento com uma equao bem simples; 
  resolva-a.

49. Encontre a soluo das equaes a seguir: 
 a) x~6+1~12=1~4
 b) x~6-1~3=1~2
 c) x+x~3=8
 d) x~3-1=x~4

Pensando em casa 

50. Resolva as equaes: 
 a) x~5=9~15
 b) 4~x=6~9
 c) 1~3=x~42
 d) ?x-1*~10=?x-9*~2 
 e) ?x-1*~3=?2x+1*~3
 f) x~5-x~6=1~4
 g) 2x~3-3x~2=5
 h) 7x~2+3~5=4x
 
<116>
Desafios e surpresas 

4. Responda a estas perguntas curiosas: 
 a) Um tijolo pesa 1 quilo mais meio tijolo. Quanto pesa o tijolo inteiro? 
 b) Um tijolo pesa 1 quilo mais um tero de tijolo. Quanto pesa o tijolo inteiro? 

5. Suco enigmtico 
  Lupa, o detetive, estava sentindo muito calor com seu inseparvel casaco e resolveu tomar um suco de laranja para se re-
  frescar. No bar, deparou com uma estranha tabela de preos: 
  1. Garrafa de suco de laranja: 30 Tips. 
  2. Suco de laranja: 26 Tips a mais do que a garrafa. 
  3. Quem descobrir quantos Tips custam a garrafa e o suco bebe de graa! 
  Voc conseguiria desvendar esse mistrio matemtico? 

*Cincia hoje das crianas*, ano 14, n.o 116, ago. 2001, SBPC. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<117> 
5- Eliminao de parnteses 

  Para iniciar, veja este exemplo numrico: 120+`(345-163`)=
 =120+182=302. 
  Voc sabia que se pode chegar ao resultado de 120+(345-163) sem comear pelo clculo que est entre parnteses? Observe: 
 120+(345-163)=120+345-163=
 =465-163=302. 
  Agora veja outro exemplo numrico: 500-(300-28)=500-
 -272=228. 
  Nesse caso,  necessrio comear pelo clculo que est entre parnteses ou trocar o sinal de cada parcela que aparece dentro dos parnteses para obter o mesmo resultado. Veja: 
500-(300-28)=
 =500-300+28=200+28=228. 
  Observando esses exemplos, chega-se  seguinte regra prtica: 

  Numa soma algbrica, se no h sinal antes dos parnteses, ou se h um sinal de *+*, podemos eliminar os parnteses, mantendo o sinal de cada parcela dentro deles. 
  No entanto, se h um sinal de *-*, para eliminar os parnteses devemos trocar o sinal de cada parcela. 

  Essas regras prticas so utilizadas na resoluo de equaes. 

Exemplos 

<R+>
1. Vamos resolver a equao 7+`(x-3`)=12. 
  7+`(x-3`)=12 
  Eliminamos os parnteses. 
  7+x-3=12 
  x+4=12 
  x=8 
  Para conferir a resposta, substitua x por 8 em 7+`(x-3`)=12. 
<118>
 2. Acompanhe a resoluo da equao 3x-`(x-8`)=-10. 
  3x-`(x-8`)=-10 
  Eliminamos os parnteses. 
  3x-x+8=-10  
  2x+8=-10 
  2x=-18 
  x=-9 
 3. Vamos resolver a equao 7-4`(-x+3`)=2x. 
  Nesse caso, novamente os parnteses sero eliminados com o uso da propriedade distributiva (respeitando os sinais da multiplicao): 7-4`(-x+3`)=2x.
  Usamos a propriedade distributiva. 
  7+4x-12=2x 
  4x-5=2x 
  Subtramos 2x dos dois membros. 
  4x-5-2x=2x-2x 
  2x-5=0 
  2x=5 
  x=2,5 
  Confira, substituindo x por 2,5 nos dois membros da equao. 
 4. Vamos resolver a equao ?3x-2*4=?x+3*3+1. 
  Para comear, reduzimos todos os termos a um mesmo denominador comum. Como mmc(4, 3)=12, temos: 
  ?3`(3x-2`)*12=?4`(x+3`)*12+
  +1212. 
  Agora, multiplicando por 12 os dois membros, podemos eliminar o denominador e chegar a uma equao simples: 
  12'?3`(3x-2`)*12=?4`(x+3`)+
  +12*12'12.
  O restante voc j sabe: 
  3`(3x-2`)=4`(x+3`)+12 
  9x-6=4x+12+12 
  9x-6-4x=4x+12+12-4x 
  5x-6=24 
  5x=30 
  x=6 
  Confira, substituindo x por 6 nos dois membros da equao. 

<119>
Atividades 

<R+>
51. Resolva as equaes: 
 a) 4x+`(7x+11`)=-11 
 b) 5x-`(-x+22`)=-4 
 c) 11x+`(-3x+10`)=4x+2 
 d) 11x-`(-3x+10`)=4x+2

52. Os lados de um retngulo medem x e `(x-6`) centmetros. O permetro desse retngulo  `(x+12`) centmetros. Calcule o valor de x. 

53. Encontre a soluo para cada equao: 
 a) 4`(x-2`)-2`(-x+3`)=1 
 b) 8-7`(-x+3`)=15x-5 
 c) 1+2`(3x-4`)=3`(5-x`)-4 
 d) 7-2`(-x-3`)=8-5`(x-1`)

54. Resolva a equao ?3x-2*2-?x+2*3=3. 
  Quer uma ajuda? 
  Para comear, colocamos todas as fraes sob um denominador comum: 
  ?3`(3x-2`)*6-?2`(x+2`)*6=
  =186 
  ?3`(3x-2`)-2`(x+2`)*6=186
  Agora, multiplicando por 6 os dois membros, obtemos uma equao parecida com aquelas dos exerccios anteriores, que voc j sabe resolver.

55. Agora, resolva estas equaes: 
 a) ?x+3*2+?x-10*3=4 
 b) ?x+3*2-?x-10*3=4

56. Paula deveria resolver a equao 4x-?7x-1*2=5. Ela era boa aluna e fazia muitas passagens mentalmente. Em sua resoluo, ela s escreveu 3 linhas: 
  4x-?7x-1*2=5
  8x-7x-1=10
  x=11 
  Mas, dessa vez, Paula errou. 
<P>
 a) Substituindo x por 11 no primeiro membro da equao, que resultado se obtm? 
 b) Qual  a soluo da equao? 
 c) Confira a soluo que voc encontrou, substituindo-a no primeiro membro da equao. 
 d) Na resoluo de Paula, em que linha aparece o erro?

57. Veja a traduo de algumas frases para a linguagem matemtica: 
  um nmero inteiro somado com seu sucessor: x+`(x+1`) 
  a metade do sucessor de um nmero: ?x+1*~2 
  um nmero somado  sua tera parte: x+x~3 
  Agora voc  quem faz a traduo: 
 a) um nmero inteiro somado com o dobro de seu sucessor; 
 b) um nmero inteiro somado com a metade de seu antecessor; 
 c) meu salrio mais um quinto dele; 
<P>
 d) um nmero somado  sua quarta parte. 

<120>
58. Qual  o nmero natural que, somado com seu sucessor, d 197?
 59. A soma de quatro nmeros naturais consecutivos  114. Quais so esses nmeros?
 60. Qual  o nmero natural que, somado com sua tera parte, d 12?
 61. Qual  o nmero natural que, somado com a metade de seu sucessor, d 44?

62. Mrio tem x anos e o pai dele tem 40 anos. Responda com expresses em x: 
 a) Quantos anos o pai tem a mais que Mrio? 
 b) Quantos anos Mrio ter quando o pai tiver 50 anos? 
 c) Quantos anos o pai ter quando Mrio tiver 30 anos?
<P>
63. Meu pai disse que, daqui a 4 anos, a idade dele ser o triplo da idade que ele tinha 26 anos atrs. Qual  a idade dele? 

Pensando em casa

64. Resolva as equaes: 
 a) `(3x-4`)+`(-2x+11`)=0 
 b) `(3x-4`)-`(-2x+11`)=0 
 c) 5x-8-`(3x+9`)=-`(x+2`) 
 d) 8+`(x-3`)=6-`(x+8`)

65. O permetro de um retngulo  a soma das medidas de seus lados. Veja este retngulo: 

<F->
            x
      !::::::::::::
      l            _
x-15 l            _
      l            _
      l            _
      h::::::::::::j
<F+>
<P>
  Seu permetro  x+`(x-15`)+x+`(x-15`). 
  Sabendo que esse permetro  70 cm, calcule a medida de cada lado do retngulo.

66. Resolva as equaes: 
 a) 8`(x-3`)+2`(5-x`)=-x 
 b) 2`(-2x+3`)-5`(2-x`)=
  =3`(2x+3`) 
 c) -2`(x-5`)-3`(2x+7`)=10-x 
 d) y-5-`(7-y`)=`(y+6`)+2y 
 e) 3x-?2x+5*3=10 
 f) ?3y-5*2-?y+5*3=5 
 g) ?x+1*2+?x+2*3=x 
 h) 2-?y+5*9=?y+1*12

67. Dois problemas para voc. 
 a) Qual  o nmero que multiplicado por 4 resulta em #:d de 112? 
 b) Os 90% de x podem ser indicados por 0,9"x. Sabendo disso, descubra o nmero cujos 10% valem 3,6. 

<121>
<P>
68. Determine o valor de x nas equaes: 
 a) 0,3x+2,1x=1,2 
 b) 0,3x-2,7x=2,4 
 c) 1,2'`(2x+3`)=0 
 d) 0,8x-2x=0,8x-1,74

69. A metade de um nmero natural somada ao dobro do sucessor desse nmero resulta 77. Qual  o nmero?

70. Os lados deste retngulo medem *l* e 4l-2 centmetros e o seu permetro  11 cm. 

<F->
  !::::::::::::
  l            _
  l            _ l
  l            _
  h::::::::::::j
      4l-2
<F+>

a) Encontre o valor de l. 
 b) Encontre a medida de cada lado do retngulo.
<P>
71. Perguntaram ao professor de Matemtica a sua idade. Ele respondeu misteriosamente: 
  -- Daqui a 21 anos, a tera parte de minha idade ser a metade da idade que tenho agora. 
  Descubra a idade do professor. 

Desafios e surpresas 

6. Descubra os nmeros do seguinte circuito: 

_`[{circuito adaptado, os crculos foram substitudos por retngulos. Comeando no primeiro retngulo superior a esquerda, no sentido horrio_`]
<F->
Legenda:
  A: some 30
  B: divida por 3
  C: some 3
  D: divida por 2
<P>
!:::::   A      !:::::
l ''' _:::::::::::l ''' _
h:::::j           h:::::j
   l                 _
D l               B_ 
   l                 _
!:::::           !:::::  
l ''' _:::::::::::l ''' _
h:::::j   C      h:::::j
<F+>

_`[{um professor pergunta: "O engano mais comum na resoluo de equaes  o que aparece ao lado. Percebeu qual ?" Ao seu lado h um quadro de giz com a expresso escrita a seguir_`]
<R->

  1-?x+1*2=1
  ?2-x+1*2=22
  2-x+1=2
  -x+1=0

               ::::::::::::::::::::::::

<122>
6- Problemas 

  J sabemos que as equaes nos ajudam a resolver problemas. Vamos ver novos exemplos dessa utilizao. 

Exemplos 

<R+>
1. Surpresa! Seu Manoel vai gratificar seus trs empregados com um total de R$150,00! Joo receber R$10,00 a mais que Antnio. Pedro receber o dobro de Joo. Quanto receber cada um? 
  Vamos indicar a quantia de 
  Antnio por x: 
  Antnio: x 
  Joo: x+10 
  Pedro: 2`(x+10`) 
  Total: 150 
  Ento: x+`(x+10`)+2`(x+10`)=150. 
  Resolvendo essa equao, voc encontrar o valor de x: x=30. 
  Veja, ento, quanto receber cada um: 
  Antnio: 30 
  Joo: 30+10=40 
  Pedro: 2`(30+10`)=2'40=80 
  Portanto, Antnio receber R$30,00, Joo receber R$40,00 e Pedro, R$80,00. 
  Nesse problema, se indicarmos a quantia de Joo por x, obteremos outra equao. No entanto, os resultados finais sero os mesmos: 
  Antnio: x-10 
  Joo: x 
  Pedro: 2x 
  Total: 150
  Ento: `(x-10`)+x+2x=150. 
  Da, se obtm x=40. 
<123> 
  Assim, teremos: 
  Antnio: 40-10=30 
  Joo: 40 
  Pedro: 2'40=80 
  Tudo confere! 
 2. Um arquiteto vai projetar uma casa num terreno de 1.230 m2. Ele recebeu esta instruo: parte do terreno ser reservada a um jardim, que dever ter #,e da rea ocupada pela construo. Qual deve ser a rea ocupada pela construo? Vamos chamar de x a rea ocupada pela construo: 
  rea da construo: x 
  rea do jardim: x~5 
  Total: 1.230 
  Ento: 
  x+x~5=1.230 
  ?5x+x*~5=6.150~5 
  5x+x=6.150 
  6x=6.150 
  x=1.025 
  A rea ocupada pela construo dever ser de 1.025 m2. 

<124>
Atividades

<R+>
72. Um campeonato de surfe no Hava oferece 12.000 dlares aos trs primeiros colocados. O segundo colocado ganha 1.000 dlares a mais que o terceiro. O primeiro colocado ganha o dobro do segundo. Qual  o prmio de cada um?
<P>
73. Uma construtora vai aproveitar um terreno de 1.700 m2, dividindo-o em duas partes: uma rea x para construo e #,d dessa rea para estacionamento. 
 a) Qual ser a rea ocupada pela construo? 
 b) Qual ser a rea do estacionamento?

74. Cuidado quando der a resposta deste problema! Perguntaram a um criador quantos bois ele possua. Ele disse que seriam 20 se ele tivesse metade a mais do que tinha. Quantos eram seus bois?

75.  frequente as pessoas pagarem impostos antecipadamente ganhando um desconto de #,aj sobre o valor do imposto. 
 a) Se o valor do imposto for de R$44,00, quanto a pessoa dever pagar com o desconto? 
 b) Uma pessoa, obtendo o desconto, pagou R$31,50. Indique 
<P>
  por x o valor do imposto sem desconto, monte uma equao em x e resolva.

76. Pagando mdico, dentista e aluguel, o senhor Souza ficar devendo R$40,00. Descubra quanto ganha o senhor Souza.
  Mdico: #,c do salrio
  Dentista: #,b do salrio
  Aluguel: #,d do salrio

Pensando em casa 

77. A soma de trs nmeros naturais consecutivos  216. Determine esses nmeros.
 78. Uma caneta custa a tera parte do preo de uma lapiseira. As duas juntas custam R$12,00. Qual  o preo de cada uma?
 79. Camila fez trs provas de Matemtica. A primeira nota foi trgica. J na segunda, ela obteve o dobro da primeira nota. Na terceira, arrasou! Tirou o triplo da primeira nota. Ela calculou sua mdia assim:  
  mdia=?1 nota+2 nota+3 
  nota*3.
  Encontrou a mdia 6,0. Qual foi sua nota em cada prova? 

<125> 
80. Para comprar um *skate*, preciso ter R$40,00 a mais do que tenho. Mas, se eu tivesse o triplo do que tenho, compraria esse skate e ainda me sobrariam R$70,00. 
 a) Quanto eu tenho? 
 b) Qual  o preo do skate?

81. Num retngulo, o lado menor mede #;c do lado maior. O seu permetro  de 35 metros. Qual  a medida de cada lado?
 82. Meu professor disse: Tenho 100 alunos distribudos em 3 classes. A primeira tem 2 alunos a mais que a segunda, que tem 2 alunos a mais que a terceira.. Eu tenho certeza de que 100 foi s um modo de dizer. As 3 classes juntas devem ter um pouco a mais ou a menos que 100 alunos. Explique por qu. 

Desafios e surpresas

7. H 800 anos, um matemtico hindu chamado Bhaskara ficou famoso pelos estudos que realizou a respeito de equaes. Nos seus livros, constam alguns problemas em linguagem potica, para serem resolvidos com equaes. Vamos propor um desses problemas, adaptando-o para a linguagem de hoje: 
  Dois namorados tanto se abraam que se parte o colar de prolas da moa. Um tero das prolas caiu no cho, um quinto ficou no banco, um sexto foi achado pela moa e um dcimo foi encontrado pelo moo; seis prolas ficam no fio. Quantas prolas tinha o colar? 
 8. Digitando um certo nmero de pginas por dia, Maria leva 10 dias para concluir um trabalho. Se ela digitasse 6 pginas a mais por dia, faria o servio em apenas 8 dias. Maria digita quantas pginas por dia? 
<R->

Ao sobre porcentagens

Pesquisando a taxa de inflao 

  Esta atividade destina-se a enriquecer o estudo de porcentagens. Devido a sua natureza,  necessrio inici-la cerca de dois meses antes da poca em que esse tema ser abordado. 
  Os alunos devero se dividir em grupos e pesquisar a evoluo de preos de 4 produtos. A escolha dos produtos pode ser feita com a ajuda do professor. 
  Com um intervalo de aproximadamente 30 dias, coletam-se os preos dos mesmos produtos. Por exemplo: em 1 de agosto, 1 de setembro e 1 de outubro. 
  Assim, cerca de 60 dias aps a primeira coleta de preos, pode-se iniciar a anlise: 
<R+>
  Calculam-se os aumentos percentuais, ms a ms. 
  Comparam-se esses aumentos com as taxas oficiais de inflao. 
  Confeccionam-se cartazes expondo os dados e tirando concluses. 
<R->
 
               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte